Interpretación física de los generadores de las simetrías conformes

Hay una interpretación física para cada una de las transformaciones. Las transformaciones conformes, como has notado, consisten en traslaciones$x'^\mu = x^\mu + a^\mu$que tiene el impulso$P_\mu = -i\partial_\mu$como el generador. La otra son las dilataciones,$x'^\mu=\alpha x^\mu$con generador$D = -ix^\mu\partial_\mu$, y una dilatación no es más que un reescalado. También tenemos rotaciones,$x'^\mu = M^\mu_\nu x^\nu$con$L_{\mu\nu} = i(x_\mu\partial_\nu - x_\nu \partial_\mu)$.

La transformación interesante que no es físicamente obvia de inmediato es la transformación conforme especial que tiene la representación finita,

Por inspección no es evidente, pero de hecho corresponde a una inversión seguida de una traslación y otra inversión. Eso es,

Le animo a comprobar que esto produce la representación finita de la SCT. El libro de Blumenhagen tiene una clara ilustración de esto:

El artículo muy interesante "Simetría eléctrica-magnética y el teorema de Noether" proporciona las expresiones para los generadores de la simetría conforme en E&M clásico (tenga en cuenta que estas cantidades no se conservan en QED, porque la simetría conforme es anómala y los efectos cuánticos la rompen espontáneamente) . Si denotamos el tensor esfuerzo-energía de Maxwell por$T^{\mu \nu}$, entonces la simetría de dilatación es generada por$D^\mu := x_\nu T^{\mu \nu}$y la transformación conforme especial para$x^\mu$es generado por$I^{\mu \nu} := 2 x^\mu D^\nu - x^2 T^{\mu \nu}$. El papel sigue diciendo

... Bessel-Hagan comentó que 'el futuro mostrará si tienen algún significado físico'. Parece que su significado físico aún no se comprende... La independencia de [$I^{\mu \nu}$] de los demás ha sido cuestionado ... Para una sola onda plana, la conservación [de$D^\mu$] puede interpretarse como un enunciado de la conocida relación de dispersión$\omega = c |k|$.

Además del grupo Poincaré, los otros cinco generadores son:

-Dilataciones: son las más evidentes, reescalan uniformemente las coordenadas. Básicamente transformaciones de escala

-Transformaciones conformes especiales: estas son menos obvias, generan traslaciones de las coordenadas invertidas, por lo que$X^\mu$/$X^2$----->$X^\mu$/$X^2$+$A^\mu$@JamalS muestra una figura con la interpretación geométrica de estas traslaciones invertidas

Consulte también, por ejemplo, las propiedades matemáticas del grupo conforme en http://bolvan.ph.utexas.edu/~vadim/classes/13f/SCA.pdf además del artículo wiki más básico

Las transformaciones conformes son importantes por varias razones, entre ellas

1) en el espacio-tiempo lorentziano 4D ese grupo de simetría es una representación de SO(4,2),

De una respuesta en PSE en, esto es parte de la razón por la que hay una correspondencia AdS-CFT:

De las relaciones de conmutación de los generadores del grupo conforme :

"Algo muy interesante de todo esto: podría preguntarse, ¿qué es un espacio-tiempo donde SO(4,2) realmente son solo rotaciones generalizadas (en oposición a rotaciones + SCT + dilataciones)? Bueno,$AdS_5$¡es uno! ¡Esta podría ser su primera pista sobre la existencia de la correspondencia AdS-CFT! Una CFT en un espacio-tiempo de 3+1 dimensiones obedece a la misma álgebra que las isometrías de$AdS_5$. Consulte "ANTI-DE SITTER SPACE" de Ingemar Bengtsson ; las páginas 1 a 5 brindan una introducción agradable y concisa al espacio-tiempo de AdS y sus isometrías".

2) los conos nulos en el espacio-tiempo de Minkowski se transforman en conos nulos bajo una transformación conforme. Y estas simetrías existen en el infinito nulo en el horizonte de un agujero negro, que Hawking y sus colegas usaron para concluir que hay otro cabello conservado en los agujeros negros, específicamente cabello suave, y que esos pueden (no probado, pero insinuado) llevar la información que antes faltaba y que se entendía que se perdía cuando las partículas caían en los agujeros negros (o al menos en el horizonte).

Consulte el documento en https://arxiv.org/abs/1601.00921

3) toda el área de la teoría de campos conformes.