¿No tendríamos una ley de conservación adicional en un Universo esférico?

De acuerdo con esta respuesta , el reciente experimento WMAP solo ha demostrado que si nuestro Universo tiene una geometría esférica, entonces debería tener al menos una 3 ⋅ 10 11 año luz gran radio.

Ahora considere la posibilidad, si nuestro Universo es una esfera de 4, entonces tiene una pequeña curvatura positiva constante.

Significa que tenemos una nueva simetría. Traducir cualquier punto de cualquier sistema con 2 π r , recuperamos el mismo sistema. Tenga en cuenta que es una cosa diferente a la simetría de traducción del espacio común (que da como resultado la preservación del impulso):

  1. es valido solo para 2 π r traducciones
  2. pero, es válido para cualquier punto de cualquier sistema, no solo para todo el sistema.

Según el teorema de Noether , cada simetría diferenciable de una acción tiene una ley de conservación correspondiente.

¿Qué ley de conservación correspondería a esta simetría?

Extensión/Corrección:

Según entiendo la respuesta de @conifold , esta es una simetría discreta y no continua, porque la traducción aquí solo es posible con norte ⋅ 2 π r ( norte ∈ Z ) , por lo tanto, el teorema de Noether aquí no se aplica en su forma original. Pero, según esta pregunta , sí, hay algo similar al teorema de Noether también sobre simetrías discretas. En la respuesta aceptada (y recompensada) , "Para simetrías infinitas como traslaciones de celosía, la cantidad conservada es continua, aunque periódica". ¿Cómo se aplica esto en nuestro caso?

Teniendo en cuenta que traducir cualquier cosa con 10 12 años luz es imposible, esta ley de conservación probablemente no tiene importancia práctica, pero aún podría existir.
Este no sería un ejemplo de simetría diferenciable, por lo que el teorema de Noether no sería aplicable.
Comentarios al post (v3): 1. El teorema de Noether no funciona para simetrías discretas, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE. 2. Para simetrías continuas/destructivas, consulte physics.stackexchange.com/q/317946/2451 (con la métrica de Schwarzschild reemplazada por la métrica de FLRW).
@Qmechanic La similitud no me queda clara, además no puedo ver la respuesta, la ley correspondiente.
@lemon Esta simetría mapea el L ( q , q ˙ , t ) a L ( q + ( 2 π r , 0 , 0 , . . . ) , q ˙ , t ) . Me parece muy diferenciable.
No estoy seguro si mi extensión no hace de mi pregunta una esencialmente nueva. Si lo hace, estoy listo para revertir la extensión, aceptar una respuesta y hacer esto como una nueva pregunta.
Lo que tienes en mente funciona para un cilindro o un toro, pero luego la rotación completa se integra en una familia continua de rotaciones. Lo mismo es cierto para la esfera si nos conformamos con una rotación completa ordinaria sin requerir que todos los puntos recorran la misma. 2 π r distancia. Para las tres, estas rotaciones son análogas a las traslaciones en el espacio euclidiano, y aparecerían como tales para los observadores locales, por lo que solo obtendrá la conservación del análogo del momento. Si selecciona solo un subgrupo discreto de estas rotaciones, obtendrá algo así como simetrías de celosía.

Respuestas (3)

Su "traducción de cualquier punto de cualquier sistema con 2πr" no se puede hacer para todos los puntos de la esfera simultáneamente. Por tanto, no es una simetría en el sentido del teorema de Noether. Supongo que se refiere a algo así como la rotación completa de una esfera de 2 alrededor de un eje, y ya puedes ver en este ejemplo que no puedes realizar tal rotación en todos los puntos a la vez. Algunos mueven el círculo completo, otros menos, algunos nada (polos). Para las 3 esferas puede que no haya polos, pero entonces habrá círculos invariantes, para las 4 esferas habrá polos nuevamente (esto se deriva de la existencia de subespacios invariantes 1D o 2D en álgebra lineal real).

Pero "la forma del universo" siendo una esfera se refiere a una porción de espacio-tiempo, no a todo el espacio-tiempo, por lo que es una esfera de 3. Sería problemático que un espacio-tiempo 4D fuera esférico incluso en las teorías de la cosmología cíclica. También están probando datos WMAP para detectar otras formas espaciales 3D finitas, los cocientes de la esfera por grupos finitos, ver The Poincaré Dodecahedral Space and the Mystery of the Missing Fluctuations by Weeks .

Incluso si funcionara globalmente, la "traducción por 2πr" no tiene un parámetro continuo (r es fijo), por lo que el teorema de Noether aún no se aplicaría. Sin embargo, hay una sombra de esto para simetrías discretas, que involucran cargas topológicas conservadas, que imponen reglas de selección en varios procesos, ver ¿ Hay algo similar al teorema de Noether para simetrías discretas?

4-esfera significa la superficie de una esfera 4D. Si su radio es suficientemente grande (en nuestro caso, al menos 3 ⋅ 10 11 ly), entonces es indistinguible para nosotros de una geometría global plana, según la respuesta referida en la pregunta. Es decir, nuestro espacio 3D puede ser la superficie de una esfera 4D. Se trata de la parte espacial. Su primera oración no me queda clara, ¿por qué debería ser traducible todo el sistema? Creo que cualquier punto de cualquier sistema sería traducible con 2 π r en cualquier dirección, estaría aplicando la misma simetría varias veces.
Nota: también la simetría del espejo espacial no tiene ningún parámetro continuo. Mapea L ( q , q ˙ , t ) a L ( − q , − q ˙ , t ) . El único parámetro que puedo ver aquí es − 1 .
Como puedo entender, el teorema de Noether prescribe diferenciabilidad , es decir, el L ( q , q ˙ , t ) → L ′ ( q , q ˙ , t ) debe ser una función diferenciable. No hay nada sobre parámetros continuos. Y esta simetría de traslación es obviamente diferenciable.
@peterh La terminología estándar es dar la dimensión de la variedad, no de lo que es el límite, ver n-sphere , por lo que 4-sphere es 4D. La simetría tiene que ser continua porque, de lo contrario, los generadores de Noether ni siquiera están definidos localmente, y la diferenciabilidad solo tiene sentido para un parámetro continuo, no discreto. Tiene que aplicarse a toda la variedad porque de lo contrario no se definen globalmente. El teorema clásico de Noether no se aplica a la simetría especular.

Realmente no soy un experto en esto, pero mi impresión superficial es que los teoremas de conservación corresponden a simetrías locales (infinitesimales), mientras que usted habla de una simetría global (ligeramente dudosa). (¿Dudoso en la medida en que asumiría una curvatura perfectamente constante, lo que parece una suposición bastante poco física?)

Además, no estoy seguro de si es una simetría diferenciable. ¿Qué hace que una simetría sea diferenciable? Trasladar cualquier punto de cualquier sistema con cualquier longitud pequeña (diferenciable) preservaría esta simetría. La curvatura constante y la geometría esférica pueden ser el resultado de la homogeneidad y la isotropía, lo que experimentamos en todas partes. Tal vez la pregunta se vería mejor como "¿Qué ley de conservación adicional tendríamos en un Universo estático de 4 esferas?"

En resumen, esta simetría no es una simetría diferenciable en el sentido en que se vería afectada por el Teorema de Noether.

¿No tendríamos una ley de conservación adicional en un Universo esférico?
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