¿Estas cantidades conservadas están asociadas a qué sistema?

Question

¿Estas cantidades conservadas están asociadas a qué sistema?

Oro

Estoy estudiando Relatividad General y me estoy confundiendo un poco con la relación entre simetrías y leyes de conservación.

De hecho, en Mecánica Clásica demostramos a partir del principio variacional que cada simetría del lagrangiano da lugar a una ley de conservación. Este es el teorema de Noether y es realmente un corolario de las ecuaciones de Euler-Lagrange.

Ahora, en la Relatividad General, he leído que cuando la derivada de Lie del tensor métrico con respecto a un campo vectorial $X$ desaparece, entonces el tensor métrico tiene una simetría bajo la transformación generada por el flujo del campo vectorial, y esto también da lugar a una simetría.

Por ejemplo: en la métrica de Schwarzschild

d s^{2} = (1 - \frac{2 GRAMO METRO}{r}) d t^{2} - (\frac{1}{1 - \frac{2 GRAMO METRO}{r}}) d r^{2} - r^{2} d θ^{2} - r^{2} {pecado}^{2} θ d ϕ^{2}

$ds^2=\left(1-\dfrac{2GM}{r}\right)dt^2-\left(\dfrac{1}{1-\dfrac{2GM}{r}}\right)dr^2-r^2d\theta^2-r^2\sin^2\theta d\phi^2$

podemos demostrar fácilmente que $\mathfrak{L}_{\frac{\partial}{\partial t}}g=0$ . En otras palabras, la métrica sería invariable en las traducciones de tiempo. Se dice que esto da lugar a la conservación de la energía. Lo mismo se puede argumentar para la simetría esférica.

Mi pregunta aquí es: se dice que si el tensor métrico es invariante bajo cierta transformación dada por el flujo de un campo vectorial $X$ , es decir, si la derivada de Lie $\mathfrak{L}_X g =0$ , entonces hay una ley de conservación.

Pero esta ley de conservación es para qué sistema? ¿La cantidad que se conserva es para qué sistema? Realmente no llegué aquí. Entonces, por ejemplo, en la métrica de Schwarzschild, la energía se conserva. ¿Pero para qué sistema? No entiendo para qué sistema se aplica la ley de conservación deducida por simetría de la métrica.

Respuestas (2)

¿Estas cantidades conservadas están asociadas a qué sistema?

qmecanico · Answer 1

Considere una acción de materia arbitraria $S_m$ que se supone que es covariante general bajo transformaciones de coordenadas generales.
Definir el tensor de tensión-energía-momento (SEM) de Hilbert
$\begin{matrix} (1) & T^{m v} := \mp \frac{2}{\sqrt{| gramo |}} \frac{d S_{metro}}{d {gramo}_{m v}} \end{matrix}$ $T^{\mu\nu}~:=~\mp \frac{2}{\sqrt{|g|}}\frac{\delta S_m}{\delta g_{\mu\nu}}\tag{1}$ en la convención de signos de Minkowski $(\pm,\mp,\mp,\mp)$ .
La invariancia del difeomorfismo conduce (a través del segundo teorema de Noether ) a una identidad fuera del caparazón. Usando las ecuaciones de la materia. de movimiento (eom)
$\begin{matrix} (2) & \frac{d S_{metro}}{d ϕ} \overset{metro}{\approx} 0, \end{matrix}$ $\frac{\delta S_m}{\delta \phi}~\stackrel{m}{\approx}~0,\tag{2}$ La segunda identidad de Noether dice $\begin{matrix} (3) & \nabla_{m} T^{m v} \overset{metro}{\approx} 0 \end{matrix}$ $\nabla_{\mu} T^{\mu\nu}~\stackrel{m}{\approx}~0 \tag{3}$ para una métrica arbitraria $g_{\mu\nu}$ . [Aquí el $\stackrel{m}{\approx}$ símbolo significa igualdad módulo materia eom. La conexión $\nabla$ es la conexión Levi-Civita.]
Finalmente suponga que la métrica $g_{\mu\nu}$ tiene una simetría Killing. La segunda identidad de Noether (3) junto con un campo vectorial Killing $K^{\mu}$ conducir a una identidad
$\begin{matrix} (4) & \frac{1}{\sqrt{| gramo |}} d_{m} (\sqrt{| gramo |} j^{m}) = \nabla_{m} j^{m} \overset{metro}{\approx} 0, \end{matrix}$ $\frac{1}{\sqrt{|g|}} d_{\mu}\left(\sqrt{|g|}J^{\mu} \right)~=~ \nabla_{\mu} J^{\mu}~\stackrel{m}{\approx}~0, \tag{4}$ dónde $\begin{matrix} (5) & j^{m} := T^{m v} k_{v} . \end{matrix}$ $J^{\mu}~:=~T^{\mu\nu} K_{\nu}.\tag{5}$
Es posible extraer una cantidad conservada en el caparazón integrada de la identidad (4) de la manera estándar a través de un teorema de divergencia de 4 dimensiones , cf. Pregunta del título del OP.
Para obtener más detalles, consulte mi respuesta Phys.SE aquí y las referencias allí.

octonión · Answer 2

Considere una geodésica con un vector tangente $U^\mu$

{tu}^{m} \nabla_{m} {tu}^{v} = 0,

$U^\mu\nabla_\mu U^\nu=0,$ y la métrica tiene un vector Killing

\nabla_{(m} X_{v)} = 0,

$\nabla_{(\mu} X_{\nu)}=0,$ entonces la cantidad

U^{ν} X_{ν}

$U^\nu X_\nu$ se conserva a lo largo de la geodésica.

{tu}^{m} \nabla_{m} ({tu}^{v} X_{v}) = {tu}^{m} {tu}^{v} \nabla_{m} X_{v} = 0.

$U^\mu\nabla_\mu (U^\nu X_\nu)=U^\mu U^\nu\nabla_\mu X_\nu =0.$ La primera igualdad se deriva de la ecuación geodésica y la segunda de la ecuación Killing.

Desde $m U$ es el cuatro impulso de una partícula en caída libre sobre la geodésica, y $X$ selecciona una coordenada especial, esto es como decir que se conserva el componente del cuatro impulso en esta coordenada especial.

De manera similar, supongamos que estamos acoplados a la materia, por lo que hay un tensor de impulso de energía simétrico conservado $\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0.$ Entonces la corriente $J^\nu\equiv X_\mu T^{\mu\nu}$ se conserva

\nabla_{v} j^{v} = T^{m v} \nabla_{v} X_{m} = 0.

$\nabla_\nu J^\nu=T^{\mu\nu}\nabla_\nu X_\mu=0.$

¿Estas cantidades conservadas están asociadas a qué sistema?

Oro

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qmecanico

octonión

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