¿Se puede escribir una función de onda como una transformación activa del tensor métrico?

Examinemos el Lagrangiano de Dirac de la mecánica cuántica:

$$\bar{\psi}\left(i\gamma^{\mu}\overrightarrow{\partial}_{\mu}-mc^{2}\right)\psi=0$$

Donde la flecha implica la dirección de acción de la derivada. La función de onda barrada se puede escribir como:

$$\bar{\psi}=\psi^{\dagger}\gamma^{0}$$

Donde la daga denota la transposición conjugada. Entonces nosotros tenemos:

$$\psi^{\dagger}\gamma^{0}\left(i\gamma^{\mu}\overrightarrow{\partial}_{\mu}-mc^{2}\right)\psi=0$$

Es muy común en discusiones de corriente conservada examinar también la ecuación adjunta de Dirac:

$$\psi^{\dagger}\gamma^{0}\left(i\gamma^{\mu}\overleftarrow{\partial}_{\mu}+mc^{2}\right)\psi=0$$

Donde la derivada ahora está actuando hacia la izquierda. Sumando ambos obtenemos una ecuación de conservación de la corriente:

$$\partial_{\mu}\left(\psi^{\dagger}\gamma^{0}\gamma^{\mu}\psi\right)=0$$

Todo esto es estándar, mi pregunta aquí es si podemos definir otro Lagrangiano de Dirac equivalente de la forma:

$$\psi^{\dagger}\left(i\gamma^{\mu}\overrightarrow{\partial}_{\mu}-mc^{2}\right)\psi^{,}=0$$

Dónde:

$$\psi^{,}=\gamma^{0}\psi$$

Que junto con su ecuación adjunta:

$$\psi^{\dagger}\left(i\gamma^{\mu}\overleftarrow{\partial}_{\mu}+mc^{2}\right)\gamma^{0}\psi=0$$

$$\psi^{\dagger}\left(i\gamma^{\mu}\overrightarrow{\partial}_{\mu}-mc^{2}\right)\gamma^{0}\psi=0$$ también define una corriente conservada

$$\partial_{\mu}\left(\psi^{\dagger}\gamma^{\mu}\gamma^{0}\psi\right)=0$$ Ahora, si combinamos nuestras cuatro expresiones, obtenemos:

$$\partial_{\mu}\left(\psi^{\dagger}\gamma^{0}\gamma^{\mu}\psi\right)+\partial_{\mu}\left(\psi^{\dagger}\gamma^{\mu}\gamma^{0}\psi\right)=0$$ o, quizás más familiar:

$$\partial_{\mu}\left(\psi^{\dagger}g^{0\mu}\psi\right)=0$$

Que es solo la condición de que:

$$\partial_{\mu}\left(\psi^{\dagger}Ig^{\nu\mu}\psi\right)e_{0}=0$$

Donde yo es la identidad$4x4$matriz. Desde este punto de vista,$\psi$parece estar jugando simplemente el papel de una transformación de coordenadas, o más propiamente una transformación activa, cambiando las propiedades físicas de la métrica.

Tenga en cuenta que la corriente es un integrando, y aquí se puede aplicar la ley de Gauss para obtener una ecuación de segundo orden. Así que aquí está mi pregunta de nuevo:

¿Estamos cambiando algo físicamente al hacer el cambio?

$$\psi\Longrightarrow\gamma^{0}\psi$$

en lugar de:

$$\psi^{\dagger}\Longrightarrow\psi^{\dagger}\gamma^{0}$$

¿En el Lagrangiano de Dirac?