¿Cuál es el uso real de los espacios de Hilbert en la mecánica cuántica?

Creo que hay dos formas distintas de interpretar esta pregunta, así que intentaré responder a ambas.

Interpretación 1 : Estoy aprendiendo la formulación estándar de la mecánica cuántica y resolviendo problemas como la partícula en una caja. Me siento cómodo realizando todos estos cálculos, pero no entiendo por qué tengo que saber acerca de los espacios de Hilbert o el álgebra lineal.

Este es bastante sencillo. Si puede sumar cosas, multiplicarlas por constantes y tomar productos internos, entonces esencialmente está$^\dagger$trabajando con un espacio de Hilbert. Las funciones de onda con las que se siente cómodo resolviendo son elementos de dicho espacio, y los operadores autoadjuntos que representan observables son mapas lineales de un elemento del espacio a otro.

El álgebra lineal es solo el estudio de espacios vectoriales y mapas lineales entre ellos, por lo que es, en particular, el telón de fondo de todos los cálculos que está realizando. Cuando resuelves una ecuación de valores propios como la ecuación de Schrödinger, estás haciendo álgebra lineal. Cuando expandes un estado genérico como una superposición de estados propios de algún observable, estás haciendo álgebra lineal. Cuando está seguro de que tal conjunto de funciones propias existe y que los valores propios correspondientes son reales, es porque ha aprendido el teorema espectral para operadores autoadjuntos, que es un resultado central en (lo adivinó) álgebra lineal (o análisis funcional, que es esencialmente álgebra lineal en espacios dimensionales infinitos).

En ese sentido, no es tanto que el álgebra lineal sea útil en la formulación estándar de la mecánica cuántica; es que la formulación estándar de la mecánica cuántica es el álgebra lineal, le guste llamarlo así o no. Sin duda, las técnicas particulares, los teoremas y las mentalidades generales del álgebra lineal pueden ser extremadamente útiles para realizar cálculos, crear modelos, etc., pero el hecho es que no importa cómo lo divida, lo que está haciendo es álgebra lineal en un Espacio de Hilbert.

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$^\dagger$En realidad, esto describe lo que se llama un espacio pre -Hilbert. Para ser un espacio de Hilbert completo, hay un requisito técnico adicional llamado integridad . En términos generales, esto significa que las secuencias que "parecen" que deberían converger en realidad lo hacen . Esto es importante cuando usa un límite, que aparece cuando diferencia (por ejemplo, el$\frac{d}{dt}$en la ecuación de Schrödinger) y cada vez que expande una función de onda como una serie infinita de vectores propios de algún observable.

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Interpretación 2 : entiendo que la formulación de la mecánica cuántica que estoy aprendiendo actualmente se basa en el espacio de Hilbert (es decir, un espacio vectorial con un producto interno) como concepto central, pero no entiendo por qué tal construcción proporciona la correcta descripción de la naturaleza.

Esta es una pregunta mucho más profunda. En el nivel más profundo, una teoría física no es ni más ni menos que un mecanismo para asignar probabilidades a los posibles resultados de las mediciones. La formulación estándar de la mecánica cuántica logra esto de una manera un tanto peculiar, en la que diseñamos una correspondencia entre las propiedades medibles del sistema y los mapas lineales en algún espacio de Hilbert (y luego procedemos como ha aprendido).

Este enfoque funciona, como lo han demostrado muchos miles de experimentos durante los últimos cien años, pero no es nada obvio por qué este es el camino correcto a seguir. Se puede obtener una idea de la formulación algebraica de la mecánica cuántica, en la que el objeto central bajo consideración es el llamado álgebra de observables , cuyos elementos representan las diversas propiedades medibles de un sistema dado.

Por un lado, esto es muy bueno: estamos trabajando y refiriéndonos directamente a las cosas que pretendemos medir, y en muchos casos es incluso posible obtener este álgebra cuántica de observables jugando adecuadamente con un álgebra clásica correspondiente de observables ( aunque yo debería decir, este último es una variedad diferente de álgebra). La desventaja es que esta formulación de la mecánica cuántica es muy abstracta y muy sofisticada, tanto que estaría dispuesto a apostar que la gran mayoría de los físicos en activo son, en el mejor de los casos, solo tangencialmente conscientes de su existencia.

Por suerte, para los que no estamos interesados ​​en estudiar$C^*$-álgebras hasta que nos sangren los ojos, existe una alternativa a esta pesada abstracción matemática. Según el teorema de Gelfand-Naimark , cualquier álgebra de observables de este tipo se puede realizar concretamente como operadores en algún espacio de Hilbert . De esa manera, volvemos a la formulación estándar de la mecánica cuántica, pero con una nueva perspectiva: la elección aparentemente arbitraria de modelar un sistema cuántico alrededor de un espacio de Hilbert es una elección que no nace de la necesidad sino de la conveniencia, porque proporciona una realización concreta de lo que de otro modo sería una descripción terriblemente abstracta de la naturaleza.

La representación de Schrödinger privilegia la base de posición para representar el estado de un sistema. Esto no es necesario, ya que la mecánica cuántica funciona en cualquier base (como la base del momento o la base de la energía), por lo que vale la pena aprender un formalismo más general que trate todas las bases en pie de igualdad (por ejemplo, la notación de soporte de Dirac, al que me referiré como "el lenguaje del operador").

Hay varios ejemplos prácticos de formas en las que el uso del lenguaje de operadores le brinda ventajas sobre simplemente resolver la ecuación de Schrödinger.

• El método del operador de escalera aplicado al oscilador armónico cuántico sería mi "ejemplo inicial" de una forma en que el álgebra lineal, los espacios de Hilbert y los métodos de operador se usan para resolver problemas y brindarle más información que solo la ecuación de Schrödinger.
• Otro ejemplo de la introducción QM es la derivación de que el momento angular está cuantificado, que también utiliza operadores de escalera construidos a partir de las relaciones de conmutación de los operadores de momento angular.
• Como ejemplo más avanzado, puede resolver el átomo de hidrógeno usando operadores de escalera y un operador oculto.$SO(4)$simetría.
• Alejándose de las soluciones exactas hacia aplicaciones desordenadas del mundo real, en la teoría de la perturbación degenerada (por ejemplo, aplicada a las correcciones informáticas del espectro de hidrógeno en un campo eléctrico aplicado), un paso clave es identificar un conjunto completo de observables que conmutan con la perturbación hamiltoniana. que se puede usar para encontrar una "buena base" de estados para resolver las ecuaciones de perturbación.
• Si estudia la teoría relativista del campo cuántico, eventualmente encontrará que la ecuación de Schrödinger en realidad no se usa en absoluto en los cálculos porque se vuelve demasiado difícil de manejar y se necesitan otras técnicas. Lo mismo es cierto para algunas áreas de la física de la materia condensada.

También hay muchas ventajas formales.

• El principio de incertidumbre de Heisenberg se puede derivar en unas pocas líneas del conmutador de los operadores de posición y momento en el lenguaje de operadores. La derivación se puede generalizar para dar una relación de incertidumbre entre dos operadores hermitianos que no conmutan.
• Las simetrías en la mecánica cuántica se pueden entender utilizando la teoría de representación de grupos de simetría en el lenguaje del operador. Esto nos permite clasificar las partículas según cómo se transforman bajo simetrías (este tipo de lógica condujo al descubrimiento de los quarks).
• En la teoría cuántica relativista de campos, las simetrías de la relatividad especial (el grupo de Poincaire ) se utilizan para definir qué se entiende por partícula. También puede deducir que las partículas se pueden clasificar por su masa, espín y números cuánticos internos como la carga.
• Cuando cambia a sistemas de partículas múltiples, es esencial tener una buena comprensión de la representación del operador . La ecuación de Schrödinger le da a mucha gente una idea incorrecta de que la función de onda se define sobre el "espacio", mientras que en la imagen del operador es más claro que el estado es una función de la posición (y otros grados de libertad) de cada partícula. Esto conduce a una increíble cantidad de confusión evitable.
  • Las propiedades de partículas idénticas también se pueden derivar de operadores de intercambio .
  • También es importante comprender que los espacios de Hilbert en los que "viven" los bosones y los fermiones son diferentes del espacio de Hilbert de partículas cuánticas no idénticas porque los estados tienen que ser totalmente simétricos o antisimétricos.
• Las matrices de densidad, que son más fáciles de definir en el lenguaje del operador, le permiten lidiar con situaciones en las que existe incertidumbre tanto "cuántica" como "clásica" en el estado del sistema, lo que le permite tratar sistemas cuánticos a temperatura finita.
• En la notación bra-ket, se puede demostrar la equivalencia entre la imagen de Schrödinger, la imagen de Heisenberg, las imágenes intermedias (o de "interacción") y el formalismo de la integral de trayectoria. Todas estas son formulaciones diferentes pero equivalentes de la mecánica cuántica que son útiles en diferentes circunstancias. Ser capaz de pasar de uno a otro es una habilidad esencial a medida que avanzas, y sería muy difícil sin el operador y el lenguaje espacial de Hilbert.

Esta no es una lista completa en absoluto. Pero solo decir que hay muchas formas en que se usa el lenguaje de operadores en la mecánica cuántica, y resolver la ecuación de Schrödinger no es suficiente para una comprensión profunda.

Creo que el problema es que a veces en Física la gente está mucho más preocupada por los resultados de los cálculos que por la naturaleza de las estructuras matemáticas subyacentes. Solo para dar un ejemplo rápido de eso, en la Relatividad General a menudo nos interesa estudiar el movimiento de una partícula en algún espacio-tiempo. Entonces, a menudo se denotan las coordenadas de la línea de mundo de la partícula como$x^\mu(\tau)$y estudia la ecuación geodésica

$$\ddot{x}^\mu+\Gamma^\mu_{\nu\sigma}\left(x\left(\tau\right)\right)\dot{x}^\nu \dot{x}^\sigma=0.\tag{1}$$

Bien,$x^\mu(\tau)$son entonces sólo cuatro funciones de una sola variable, mientras que$\Gamma^\mu_{\nu\sigma}(x)$es solo una colección de funciones de las cuatro variables$x^\mu$.

En lo que respecta al cálculo, se reduce a (1), pero detrás de escena$x^\mu(\tau)$es realmente la coordenada representativa de una curva en una variedad suave con métrica semirriemanniana, mientras que$\Gamma^\mu_{\nu\sigma}$son los representantes coordinados de un objeto llamado conexión Levi-Civita en dicha variedad.

Lo mismo puede decirse de la Mecánica Cuántica. Uno puede simplemente mirar a la ecuación de Schrödinger

$$-\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi+V\Psi=i\hbar \dfrac{\partial \Psi}{\partial t}\tag{2}$$

y ver allí una ecuación diferencial parcial de segundo orden para una función de valor complejo$\Psi(t,x)$. Este sería el análogo no relativista de la mecánica cuántica de (1).

Nuevamente, en lo que respecta al cálculo, se reduce a (2), pero ahora detrás de escena$\Psi(t,x)$es en realidad una curva en un espacio de Hilbert$t\mapsto \Psi(t,\cdot)$cuyos elementos son funciones cuadradas integrables de valor complejo. Uno puede invocar un punto de vista aún más abstracto en el que tenemos una base$|x\rangle$y vemos las cantidades$\Psi(t,x)=\langle x|\Psi(t)\rangle$como las coordenadas del vector$|\Psi(t)\rangle$en esa base.

Este tipo de cosas está en todas partes: tenemos una estructura matemática abstracta que subyace a todos los cálculos en Física. La razón por la que esta estructura matemática abstracta es importante, en lugar de solo el cálculo, es que organiza las cosas de una manera mucho más lógica. Esto permite una mejor comprensión, la eliminación de ambigüedades y, en ocasiones, da una idea de cómo simplificar los cálculos.

Ya que estás estudiando Mecánica Cuántica, pronto descubrirás esto: cuando estudies el oscilador armónico, pasar por el cálculo de componentes (2) te llevará a resolver la ecuación de Hermite. Pero aprovechar el punto de vista espacial abstracto de Hilbert lo llevará a operadores de aniquilación y creación y a un método relativamente más simple (y en mi opinión más elegante) para obtener sus soluciones.

Lo mismo sucederá con el momento angular orbital donde (2) lo llevará a estudiar el problema de valor propio de Laplacian en la esfera (y eventualmente la ecuación asociada de Legendre) mientras que el punto de vista espacial abstracto de Hilbert lo llevará a estudiar el álgebra de rotaciones que finalmente le da una construcción alternativa de los armónicos esféricos.

Dado que quería un ejemplo de dónde se puede usar la formulación abstracta de vectores de estado aquí, es una especie de 'derivación' (léase como motivación) del operador de momento en el espacio de posición. Todo lo siguiente está en 1-D

Suponer$\left|\Psi(t)\right>$es el vector de estado del sistema y$\left|x\right>$es un estado propio de posición (estrictamente hablando, estos no están en el espacio de Hilbert). Desde$\left|x\right>$forma la base de nuestro espacio, podemos escribir el estado como una combinación lineal del$\left|x\right>$como sigue

$$\left|\Psi(t)\right>=\int \mathrm{d}x \left|x\right> \left<x| \Psi(t)\right>$$ Ahora podemos tomar prestado de la mecánica clásica y utilizar el hecho de que el impulso es un generador de traslaciones. Así podemos escribir el operador de traducción infinitesimal$T(dx)$como $$T(dx)=1-i\frac{\hat p dx}{\hbar}$$ El$-i$aparece desde$\hat p$se supone que es hermitiano (el$\hbar$es para unidades coincidentes) y que

a)$T(dx)$ser unitario
b)$T(-dx)=T^{-1}(dx)$y que
c)$T(dx)T(dx')=T(dx+dx')+O(dx^2)$

podemos aplicar$T(\Delta x)$a nuestro estado anterior y obtenemos

$$\begin{aligned}(1-i\frac{\hat p \Delta x}{\hbar})\left|\Psi(t)\right>&=\int\mathrm{d}x'T(\Delta x)\left|x'\right> \left<x'| \Psi(t)\right> \\&=\int\mathrm{d}x'\left|x'+\Delta x\right> \left<x'| \Psi(t)\right> \\&=\int\mathrm{d}x'\left|x'\right>\left<x'-\Delta x| \Psi(t)\right> \\&=\int\mathrm{d}x'\left|x'\right>(\left<x'| \Psi(t)\right>-\Delta x\frac{\partial}{\partial x'} \left<x'| \Psi(t)\right>) \end{aligned}$$ La segunda línea utiliza la definición de$T(dx)$en un auto de posición, la tercera línea hace una sustitución de variables$x'+\Delta x \rightarrow x'$y la última línea realiza una expansión de Taylor. Expandiendo ambos lados y cancelando$\left|\Psi(t)\right>$obtenemos $$\hat p \left|\Psi(t)\right>=\int\mathrm{d}x'\left|x'\right>(-i\hbar \frac{\partial}{\partial x'} \left<x'| \Psi(t)\right>)$$

Multiplicando a la izquierda por$\left<x\right|$y usando el hecho de que$\left<x|x'\right>=\delta(x-x')$obtenemos

$$\left<x\right|\hat p \left|\Psi(t)\right>=-i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \left<x| \Psi(t)\right>$$

Desde$\left<x| \Psi(t)\right>$es la función de onda el operador de cantidad de movimiento en el espacio de posición es

$$\hat p_{position\ space}=-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$$

Veo dos preguntas importantes que se hacen aquí:

Pregunta 1: ¿Cuál es el punto del álgebra lineal en QM cuando todos los problemas que resuelvo normalmente trabajan con funciones de onda y no usan ningún álgebra lineal?

Pregunta 2: Conceptualmente, ¿cuál es el significado de "espacios de Hilbert"? ¿Por qué se mencionan tanto los "espacios de Hilbert" como si tuvieran algo especial, cuando la definición casi nunca se menciona o se usa en la resolución de problemas reales que he encontrado?

La primera pregunta es qué responde @user7896, @andrew, @jMurray y @gold. Creo que estas respuestas están bien, pero también tengo otra sugerencia.

Te recomiendo que mires los sistemas spin-1/2. Este es un sistema de uso común que puede estar en una superposición discreta de solo 2 posibilidades discretas (girar hacia arriba o girar hacia abajo). El estado cuántico de este sistema se puede representar mediante una matriz simple de 2x1 (una matriz para las amplitudes de probabilidad asociadas a cada estado). Este es el estado cuántico más simple con el que trabajar y, a menudo, se lo denomina qbit. A menudo, solo el álgebra lineal es suficiente para decirle qué ocurrirá con este estado. Si, por ejemplo, desea evolucionarlo en el tiempo, puede multiplicarlo por$e^{i\hat{H} t}$dónde$\hat{H}$es una matriz de 2 por 2 que representa el hamiltoniano del sistema. Encuentro que el método de álgebra lineal es mucho más útil para comprender cómo interfieren las amplitudes de probabilidad. Ahora, cualquier problema con un número discreto de estados puede funcionar simplemente con álgebra lineal, y puedes ver cómo las amplitudes de probabilidad se suman y se restan muy claramente.

Además, todos los sistemas continuos (como una partícula en una caja) en realidad pueden pensarse como lo que ocurre cuando tomas un vector y le das un número incontablemente infinito de posibilidades (con amplitudes de probabilidad asociadas con cada posibilidad). Así que imagine una partícula en una caja como si estuviera en N contenedores discretos, y luego lleve el número de contenedores al infinito. Puede representarlo con álgebra lineal para la parte discreta, y la representación continua completa es solo cuando lo lleva a un número infinito de contenedores.

Ahora solo una persona (@J. Murray) hasta ahora ha intentado responder a la segunda pregunta:

Pregunta 2: Conceptualmente, ¿cuál es el significado de "espacios de Hilbert"? ¿Por qué se mencionan tanto los "espacios de Hilbert" como si tuvieran algo especial, cuando la definición casi nunca se menciona o se usa en la resolución de problemas reales que he encontrado?

Técnicamente en wikipedia está escrito que:

Los espacios de Hilbert (llamados así por David Hilbert) permiten generalizar los métodos del álgebra lineal y el cálculo desde los espacios euclidianos bidimensionales y tridimensionales a espacios que pueden tener una dimensión infinita. Un espacio de Hilbert es un espacio vectorial equipado con una operación de producto interno, que permite definir una función de distancia y perpendicularidad (conocida como ortogonalidad en este contexto). Además, los espacios de Hilbert son completos para esta distancia, lo que significa que existen suficientes límites en el espacio para permitir el uso de las técnicas del cálculo.

Lo cual es similar a lo que estaba diciendo en la primera parte de la respuesta. (Lleve los contenedores al infinito y vuelva a trabajar el producto interno algebraico en ese límite).

Pero hay un componente conceptual que creo que falta aquí. De manera similar, a menudo usamos el término "espacio de Hilbert" para referirnos al "espacio de posibilidades" en el que viven nuestras amplitudes de probabilidad. Este "espacio de posibilidades" para problemas simples suele ser muy obvio para problemas simples. Entonces, para un sistema qbit (tome una partícula de espín 1/2, por ejemplo), nuestras amplitudes de probabilidad solo pueden existir en 2 estados posibles (por lo que podríamos tener un estado$\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle$por ejemplo, que podría escribirse como$\left[\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}}\right]$como un vector.).

Pero para un sistema de 2qbit, la cantidad de posibilidades es 4. Y para un sistema de 3-qubit, la cantidad de posibilidades es 8 (todas las configuraciones posibles de formas posibles en que las 3 partículas podrían estar hacia arriba o hacia abajo, como cuántas configuraciones hay para lanzar 3 monedas). ). A cada resultado posible se le puede asignar su propia amplitud de probabilidad independiente.

Por ejemplo, el espacio de Hilbert para el sistema de 3 qubits es:

$\begin{align} |0\rangle_1|0\rangle_2|0\rangle_3\\ |0\rangle_1|0\rangle_2|1\rangle_3\\ |0\rangle_1|1\rangle_2|0\rangle_3\\ |0\rangle_1|1\rangle_2|1\rangle_3\\ |1\rangle_1|0\rangle_2|0\rangle_3\\ |1\rangle_1|0\rangle_2|1\rangle_3\\ |1\rangle_1|1\rangle_2|0\rangle_3\\ |1\rangle_1|1\rangle_2|1\rangle_3 \\ \end{align}$

El espacio de Hilbert para un sistema de 3 qubits es el conjunto de todas las configuraciones posibles en las que puede estar cada uno de estos estados, y asignamos amplitudes de probabilidad a estas configuraciones combinatorias . Entonces, por ejemplo, un sistema de 3 qubits podría estar en un estado de superposición$|0\rangle_1|0\rangle_2|0\rangle_3- |0\rangle_1|1\rangle_2|0\rangle_3$. Este hecho de que se asignen amplitudes de probabilidad a los posibles resultados es, en mi opinión, la esencia de QM.

Esto significa que nuestro "espacio de Hilbert" (lo que en realidad queremos decir es el espacio de posibilidades en el que existen todas nuestras configuraciones y al que se le pueden asignar amplitudes de probabilidad) se vuelve mucho, mucho más grande.

Es este uso coloquial del término "espacio de Hilbert" en el que nos referimos al espacio de posibilidades exponencialmente creciente que creo que rara vez se explica y que a menudo es fuente de confusión conceptual.

Su confusión se deriva de la diferencia en cómo se enseñan las matemáticas a los físicos y matemáticos.

Por ejemplo, tome una expresión como

$$\int_{-\infty}^\infty\mathrm d x\, |f(x)|^2.$$ Un físico inmediatamente comenzaría a intentar calcular esto usando las herramientas que conoce, pero un matemático primero estaría haciendo preguntas. Esto se debe a que esta integral es en realidad un límite: $$\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{-R}^R\mathrm d x\, |f(x)|^2$$ Entonces, el matemático podría preguntar, ¿existe este límite? Si no es así, es posible que obtenga respuestas sin sentido que cambian según cómo tome el límite. Todavía podría haber otras preguntas válidas que podría hacer, pero soy físico, así que no las sé.

Uno de los resultados que llevaron a los espacios de Hilbert es el hecho de que si$f,g$ambos son integrables al cuadrado, es decir

$$\int_{-\infty}^\infty\mathrm d x\, |f(x)|^2\text{ is finite}$$ entonces podemos definir un producto interior dado por $$\langle f|g\rangle=\int_{-\infty}^\infty\mathrm dx f^*(x)g(x).$$ Este producto interior tiene muchas buenas propiedades que hacen que se comporte como el producto escalar regular y esto nos permite usar el poder del álgebra lineal. Consulte también https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_space#History .

Entonces, hacer mecánica cuántica sin saber sobre los espacios de Hilbert es como conducir un automóvil sin saber cómo funciona el motor. Estarás bien la mayor parte del tiempo, pero debes apreciar todo el arduo trabajo que se dedicó a fabricar y mantener tu automóvil. Pasé mi clase de QM con solo una vaga comprensión de los espacios de Hilbert. De hecho, una de las primeras funciones de onda que aprendes es$\exp(ipx/\hbar)$que es una función propia del operador de cantidad de movimiento y también del hamiltoniano de partículas libres. Esta función de onda ni siquiera es integrable al cuadrado y, por lo tanto, no es una solución adecuada de la partícula libre (aunque se trata de una superposición en forma de integral). Esto a menudo se oculta debajo de la alfombra y por una buena razón. Desea aprender sobre QM y aprender toda la teoría detrás de los espacios de Hilbert sería largo y/o confuso.