¿Por qué la dimensión del conjunto de estados separables es dimH1+dimH2dim⁡H1+dim⁡H2\dim\mathcal H_1+\dim\mathcal H_2?

Question

¿Por qué la dimensión del conjunto de estados separables es dimH1+dimH2dim⁡H1+dim⁡H2\dim\mathcal H_1+\dim\mathcal H_2?

marsó

Por favor, ¿me pueden ayudar a entender cómo es la dimensión del conjunto de estados separables? $\dim \cal H_1 + \dim \cal H_2$ ?

Este es el pasaje relevante:

Hasta ahora, hemos asumido implícitamente que el sistema está hecho de un solo componente. Supongamos que un sistema está hecho de dos componentes; uno vive en un espacio de Hilbert $\cal H_1$ y el otro en otro espacio de Hilbert $\cal H_2$ . Un sistema compuesto por dos componentes separados se llama bipartito . Entonces el sistema como un todo vive en un espacio de Hilbert $\cal H = \cal H_1 \otimes \cal H_2$ , cuyo vector general se escribe como
$\begin{matrix} (2.29) & | ψ ⟩ = \sum_{i, j} C_{i j} | {mi}_{1, i} ⟩ \otimes | {mi}_{2, j} ⟩, \end{matrix}$ $\left|\, \psi \right\rangle = \sum_{i,j} c_{ij} \left|\,e_{1,i}\right \rangle \otimes \left|\,e_{2,j}\right\rangle, \tag{2.29}$ dónde $\{|\,e_{a,i}\rangle\}$ ( $a=1,2$ ) es una base ortonormal en $\cal H_a$ y $\sum_{i,j} |c_{ij}|^2 = 1$ .

Un estado $|\,\psi \rangle \in \cal H$ escrito como un producto tensorial de dos vectores como $|\,\psi \rangle = |\,\psi_1 \rangle \otimes |\,\psi_2\rangle$ , ( $|\,\psi_a\rangle \in \cal H_a$ ) se denomina estado separable o estado de producto tensorial . Un estado separable admite una interpretación clásica como “El primer sistema está en el estado $|\,\psi_1\rangle$ , mientras que el segundo sistema está en $|\,\psi_2\rangle$ .” Es claro que el conjunto de estados separables tiene dimensión $\dim \cal H_1 + \dim \cal H_2$ .

yuggib

De Wikipedia: Si

H_{1}

$\mathscr{H}_1$ y

H_{2}

$\mathscr{H}_2$ tienen bases ortonormales

{φ_{k}}

$\{\varphi_k\}$ y

{ψ_{l}}

$\{\psi_l\}$ , respectivamente, entonces

{φ_{k} \otimes ψ_{l}}

$\{\varphi_k \otimes \psi_l\}$ es una base ortonormal para

H_{1} \otimes H_{2}

$\mathscr{H}_1\otimes\mathscr{H}_2$ . En particular, la dimensión de Hilbert del producto tensorial es el producto (como números cardinales) de las dimensiones de Hilbert.

Respuestas (2)

¿Por qué la dimensión del conjunto de estados separables es dimH1+dimH2dim⁡H1+dim⁡H2\dim\mathcal H_1+\dim\mathcal H_2?

De Wikipedia: Si $\mathscr{H}_1$ y $\mathscr{H}_2$ tienen bases ortonormales $\{\varphi_k\}$ y $\{\psi_l\}$ , respectivamente, entonces $\{\varphi_k \otimes \psi_l\}$ es una base ortonormal para $\mathscr{H}_1\otimes\mathscr{H}_2$ . En particular, la dimensión de Hilbert del producto tensorial es el producto (como números cardinales) de las dimensiones de Hilbert.

hológrafo · Answer 1

Tenga en cuenta que el espacio de estados separables no es un espacio vectorial y, en particular, no es un subespacio del espacio de Hilbert total: es poco probable que la suma de dos estados separables sea separable. Entonces dimensión aquí significa algo más general que la dimensión del espacio vectorial.

Habiendo dicho eso, ¡no estaría de acuerdo con el autor en su dimensión! Diría que el espacio de estados separables (distintos de cero) tiene dimensión $\dim \mathcal{H_1}+\dim\mathcal{H_2}-1$ .

Para especificar un estado separable, podemos suministrar un elemento de cada uno de $\mathcal{H_1}$ y $\mathcal{H_2}$ , lo que significa $\dim \mathcal{H_1}+\dim\mathcal{H_2}$ números complejos. Sin embargo, aquí hay una redundancia, porque podemos cambiar cada uno por una escala general ( $|\psi_1\rangle\mapsto\lambda|\psi_1\rangle, |\psi_2\rangle\mapsto\lambda^{-1}|\psi_2\rangle$ ) sin cambiar el estado del producto, lo que reduce la dimensión en 1.

Un par de ejemplos simples:

1) Si $\mathcal{H_1}$ es unidimensional (¡completamente trivial!), entonces todos los estados son separables, y $\mathcal{H_1}\otimes\mathcal{H_2}\simeq\mathcal{H_2}$ .

2) Si ambos $\mathcal{H_1}$ y $\mathcal{H_2}$ son bidimensionales, podemos escribir un estado de $\mathcal{H_1}\otimes\mathcal{H_2}$ como una matriz de 2x2. Los estados separables tienen columnas/filas proporcionales, por lo que son exactamente iguales a las matrices de determinante cero. Si excluimos 0, esta es una subvariedad tridimensional.

tu escala $|\psi_1\rangle\mapsto\lambda|\psi_1\rangle$ sin embargo, no conserva la normalización. Si $\dim\mathcal H_1$ es (como debería) $2(N-1)$ con $N$ la dimensión del espacio, entonces las ambigüedades de fase y normalización ya se han resuelto, por lo que no entiendo por qué debería haber un parámetro menos. Por ejemplo, los estados separables de dos qubits están determinados por $2+2=4$ parámetros, no tres: $(\cos\theta|0\rangle+\sin\theta e^{i\phi}|1\rangle)\otimes(\cos\theta'|0\rangle+\sin\theta' e^{i\phi'}|1\rangle)$

una mente curiosa · Answer 2

Puede que esto no sea lo que Nakahara tiene en mente, pero uno puede darle sentido usando la idea de los espacios proyectivos de Hilbert . Dejar $\mathcal{P}(\mathcal{H})$ denota el espacio proyectivo asociado al espacio "normal" $\mathcal{H}$ .

El subconjunto de estados separables no es un subespacio vectorial en el sentido propio, como señala Holographer. Sin embargo, puede entenderse como una subvariedad proyectiva del espacio proyectivo asociado con el producto tensorial de los espacios de Hilbert subyacentes: es la imagen de la incrustación de Segre , siendo una incrustación suave.

PAG (H_{1}) \times PAG (H_{2}) \to PAG (H_{1} \otimes H_{2}), (ψ, ϕ) \mapsto ψ \otimes ϕ

$\mathcal{P}(\mathcal{H}_1) \times \mathcal{P}(\mathcal{H}_2) \to \mathcal{P}(\mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2), (\psi,\phi) \mapsto \psi \otimes \phi$

dónde $\mathcal{P}(\mathcal{H}_1) \times \mathcal{P}(\mathcal{H}_2)$ son los estados separables. ¹ En el lenguaje de las variedades proyectivas, esta imagen es una $(m-1)+(n-1)$ dimensiones subvariedad proyectiva de $\mathcal{P}(\mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2)$ , pero dado que deberíamos ver más correctamente $m' = m - 1$ y $n' = n - 1$ - las dimensiones de los espacios proyectivos - como la dimensión de los espacios reales de estados, obtenemos en efecto que la subvariedad correspondiente a los estados separables tiene como dimensión la suma de las dimensiones de los estados individuales.

¹ Tenga en cuenta que en los espacios de Hilbert ordinarios, esto ni siquiera es inyectivo, y mucho menos una incrustación en ningún sentido propio, ya que $\psi \otimes \phi = k\psi \otimes \frac{1}{k}\phi$ significa que $(\psi,\phi)$ y $(k\psi,\frac{1}{k}\phi)$ mapa al mismo elemento del espacio del producto tensorial.

¡ah! ¡la geometría algebraica está en todas partes! pero soy un tipo tan pobre que no entiende, gracias, pero lo siento, con mi formación en matemáticas no entiendo tu respuesta
¡Muy lindo! Estaba realmente luchando por ver la geometría aquí; esto ayuda mucho Un detalle muy pequeño: en la notación original, $\dim\mathcal{H}_1=n$ , entonces $\dim\mathcal{P}(\mathcal{H}_1)=n-1$ , por lo que los estados separables serían un $(n+m-2)$ -Variedad dimensional aquí si entiendo correctamente.

¿Por qué la dimensión del conjunto de estados separables es dimH1+dimH2dim⁡H1+dim⁡H2\dim\mathcal H_1+\dim\mathcal H_2?

marsó

yuggib

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