Cálculos de tensión en un papel perforado

Sí. El desgarro se inicia en las concentraciones de tensión alrededor de los orificios, donde la tensión es mayor. Después de la iniciación, el desgarro continúa propagándose a lo largo de la línea de mayor tensión.

El estrés es una función de la fuerza y ​​la geometría ($\sigma_{n} = \frac {F}{A_{n}}$). En una hoja de papel sin agujeros, la tensión es uniforme y el papel se rasga cuando la tensión supera la resistencia última a la tracción del papel ($\sigma_{n} \gt \sigma_{UT, paper}$).

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Estrés promedio: la explicación más básica

Cuando hay agujeros, reducen efectivamente el área de la sección transversal ($A_{eff} = A_{o} - n_{holes}A_{hole}$) ^* que transmite fuerza. El equilibrio estático requiere que la tensión aumente proporcionalmente a la reducción del área, que se muestra a continuación.

$$\therefore \sigma_{eff} = \frac {F}{A_{eff}}$$

Porque$\sigma_{eff} \gt \sigma_{n}$, se deduce que el papel se rasgará a lo largo de las secciones transversales donde hay agujeros. Si bien esto calcula correctamente la tensión promedio, asume que la tensión entre los orificios es uniforme (e igual a la tensión promedio). En realidad, el perfil de tensión entre agujeros no es uniforme, como se explica a continuación.

^* Tenga en cuenta que 'área' se refiere al área de la sección transversal

Concentraciones de tensión: estado de tensión aproximado

Las concentraciones de tensión describen el estado de tensión en cambios abruptos en la geometría, donde el perfil de tensión no es uniforme. De manera análoga a las líneas de presión en el flujo de fluido (laminar) alrededor de un cuerpo sumergido, las líneas de fuerza 'fluyen' a través de la geometría, concentrándose alrededor de los agujeros (donde no existe material para transmitir la fuerza).

Un factor de concentración de tensiones ($K_{s}$) se aplica a la tensión nominal para calcular la tensión máxima, donde$\sigma_{max} = K_{s}\sigma_{n}$. Los factores de concentración de tensión dependen de la geometría y se determinan analíticamente o mediante datos experimentales. De la solución analítica de una placa infinita con un solo agujero, cargada uniaxialmente,$K_{s} = 3$. Más aplicable, de los factores de concentración de tensión de Peterson , una placa infinita con un patrón de agujeros lineal:

$$\therefore \sigma_{SC} \approx 3 \sigma_{n}$$

Método de elementos finitos: estado de estrés completo

Las soluciones completas y precisas se obtienen fácilmente mediante métodos de elementos finitos (FEM), donde las soluciones analíticas no son posibles con geometría compleja. Con dimensiones supuestas (similares al problema planteado),$K_{s} = 3.75$, determinada a partir de la solución convergente que se muestra a continuación (donde los colores 'más brillantes' indican una mayor tensión, en consonancia con la solución dada por la concentración de tensión).

$$\therefore \sigma_{FEM} = 3.75 \sigma_{n}$$

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Todos los métodos de solución demuestran que la tensión aumenta en las secciones transversales donde hay agujeros: cuando la tensión en cualquier lugar del papel supera la resistencia del papel ($\sigma_{max} \gt \sigma_{UT, paper}$), se inicia un desgarro y sigue la línea de mayor tensión, esto valida su percepción.

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Hay varias otras consideraciones, no discutidas, pero enumeradas en 'Referencias':

• El papel no es un material dúctil, no se deforma plásticamente.
• El papel no es (generalmente) isotrópico, es ortotrópico, donde su resistencia depende de la orientación.
• Mecánica de fractura (basada en la suposición de que todos los materiales tienen defectos): las irregularidades del material actúan como micro concentraciones de tensión

Referencias:

Propiedades mecánicas del papel: básico

Propiedades mecánicas de Paper-Advanced

Mecánica de fractura del papel