¿Cuál es el significado del ensanchamiento de línea natural?

A pesar de la conveniente ficción de que las transiciones entre estados cuánticos solo pueden ocurrir si la energía del fotón es exactamente igual a la diferencia de energía entre los dos estados,

$$\hbar \omega = E_2-E_1,$$ si lo tomas literalmente, eso implicaría que incluso si la energía del fotón solo fuera una parte en$10^{10^{10}}$, ya que eso ya no es exactamente igual a$E_2-E_1$, entonces la transición no se llevaría a cabo$-$pero eso, por supuesto, es obviamente una simple tontería. No hay lugar en la física experimental para igualdades matemáticamente exactas entre números reales, y todas las cantidades físicas, incluidas las posiciones de las líneas espectrales, vienen con un ancho asociado.

Sin embargo, para las líneas espectrales, hay dos contribuciones principales a ese ancho:

• Puede suceder, por ejemplo, que su muestra tenga un montón de átomos diferentes, cada uno en condiciones similares pero ligeramente diferentes (por ejemplo, diferentes campos eléctricos o magnéticos, o moviéndose a una velocidad térmica diferente con respecto al observador, lo que sea) , lo que hace que todos los átomos diferentes tengan transiciones a frecuencias ligeramente diferentes. Esto se conoce como ensanchamiento no homogéneo de la línea.
• Sin embargo, también existe algo llamado el ensanchamiento homogéneo de la línea, y esto afecta la emisión de incluso un solo átomo. Esto es causado por el hecho de que la emisión comienza en un momento dado (no ha estado ocurriendo desde$t=-\infty$) y está decayendo exponencialmente, por lo que en algún momento se quedará sin población en estado excitado para decaer (en un punto bastante corto de$t=\infty$), lo que significa que la emisión no es estrictamente monocromática, y una transformada de Fourier de la emisión de un solo átomo encontrará que tiene un ancho distinto de cero.

Tiene la tarea de estimar el ancho de línea causado por el ensanchamiento homogéneo, en función de los requisitos del principio de incertidumbre causados ​​por la vida útil dada en el problema.

En la mecánica cuántica, los electrones pueden saltar de un estado a otro con absorción/emisión de radiación. Sin embargo, la frecuencia de la radiación no tiene que ser exactamente$\frac{E_2-E_1}{h}$. Uno puede usar una frecuencia ligeramente diferente y aun así obtener la transición de energía. Esto significa que si observa el espectro de luz emitida/absorbida por un átomo, no verá una función delta nítida, sino una curva suave (línea) que se parece a un Lorentziano . Esto significa que la línea de absorción es más amplia que el caso de que se absorba una sola frecuencia. De aquí es de donde proviene el término "ampliación de línea": es el fenómeno de una curva de absorción que se ensancha (lo que significa que más y más frecuencias pueden ser absorbidas por un electrón o emitidas por uno). Hay un par de razones para que la línea de absorción se ensanche, como la presión, el efecto Doppler y más, pero como se dijo anteriormente, incluso un solo átomo en el vacío tiene una "ampliación natural".

Esto se debe al tiempo finito que pasa un electrón (en promedio) en el estado excitado. Esta transición se debe a que el hamiltoniano de un átomo en el vacío es perturbado por el campo electromagnético en el vacío. En la teoría de la perturbación, se puede ver que cuanto más tiempo tarda una perturbación en inducir una transición, más precisa debe ser su frecuencia, lo que significa$\Delta \omega \Delta t \geq 1$.

En resumen, debe calcular el$\Delta \omega$de la línea de absorción usando este principio de incertidumbre, pero espero que la explicación haya ayudado (perdón por los errores en inglés)

Por lo general, cuando realizamos cálculos, consideramos que los niveles de energía del sistema son discretos. Pero, de hecho, los estados excitados tienen una cierta probabilidad de decaer mediante la emisión de fotones y, por lo tanto, tienen un tiempo de vida finito. Esto implica que los niveles se vuelven cuasidiscretos, con un ancho pequeño pero finito; se pueden escribir en la forma$E-\tfrac{1}{2}i\Gamma$dónde$\Gamma$es la probabilidad total de todos los posibles canales de desintegración (este hecho se establece alternativamente como el Teorema Óptico). A menudo, el ancho que se desarrolla es bastante pequeño en comparación con la brecha entre los niveles discretos, por lo que aún podemos medir transiciones pronunciadas. Alguien más comenta que no deberíamos proporcionar respuestas completas a las preguntas de la tarea, así que, en su lugar, solo voy a desarrollar el concepto y lo que significa, ya que eso es lo que solicitaste. Por ejemplo, otra respuesta menciona que los niveles de energía se amplían a Lorentzianos; no es demasiado difícil derivar este hecho.

Empecemos de cero, con la ecuación de Schrödinger

$$\begin{equation} \label{sequation} i\frac{\partial \Psi}{\partial t}=\left(\hat{H}^{(0)}+\hat{V} \right)\Psi \end{equation}$$ y expandir la solución en términos de las funciones de onda de los estados no perturbados del sistema $$\begin{equation} \label{tdpt} \Psi=\sum_\nu a_\nu (t) \Psi^{(0)}_\nu=\sum_\nu a_\nu (t) e^{-iE_\nu} \psi^{(0)}_\nu \end{equation}$$ Insertando esta expresión a ambos lados de la ecuación de Schrödinger y tomando productos internos con el estado$\nu$da $$\begin{equation} \label{tdpt2} i\frac{\partial a_\nu}{\partial t}=\sum_\nu\langle\nu|V|\nu '\rangle a_{\nu '} (t) \ e^{i(E_\nu-E_\nu')} \end{equation}$$ El procedimiento habitual para la teoría de la perturbación dependiente del tiempo es el siguiente. Suponemos que el sistema se encuentra en algún estado inicial con probabilidad unidad$a_1=1$y$a_\nu=0$para$\nu\neq 0$. Luego al orden líder integramos ambos lados para encontrar$a_\nu$manteniendo solo los términos a la izquierda donde$\nu'=1$es decir, sólo manteniendo los términos en orden de prioridad en$V$. El procedimiento para calcular$a_\nu$procede con mayor precisión por iteración. Estamos particularmente interesados ​​en la probabilidad de decaimiento a largo plazo $$\begin{equation} dw=|a_{\omega, 2}(\infty)|^2 \ d\omega \end{equation}$$ dónde$\nu=2$es un estado excitado y$\omega$denota la emisión de un fotón. En el caso habitual de la teoría de la perturbación dependiente del tiempo, asumimos efectivamente que nuestros resultados se aplican a un tiempo más largo que el espaciado de nivel inverso pero corto en comparación con el tiempo de vida de decaimiento de los niveles de energía. Ahora relajemos esa suposición: cuando lleguemos a tiempos comparables a la vida de descomposición del estado$1$entonces$a_1=\exp{\left( -\tfrac{1}{2}\Gamma_1 t \right)}$y la ecuacion de$a_{\omega, 2}$se convierte $$\begin{equation} \label{modtdpt} i\frac{d a_{\omega, 2}}{dt}=\langle \omega, 2| V |1\rangle e^{i(\omega-\omega_{12})t-\frac{1}{2}\Gamma_1 t} \end{equation}$$ Integrando de otra manera como de costumbre, y sustituyendo en la fórmula para la probabilidad de decaimiento a largo plazo da $$\begin{equation} \label{bwdist} dw=|\langle\omega, 2| V|1\rangle|^2 \frac{1}{(\omega-\omega_{12})^2+\frac{1}{4}\Gamma_1^2} \ d\omega \end{equation}$$ Si asumimos que el ancho es pequeño, entonces esta expresión está dominada por el rango de frecuencia$\omega\approx \omega_{12}$, y recuperamos la habitual Regla de Oro de Fermi.

Ahora definimos la expresión

$$\begin{equation} \Gamma_{1\rightarrow 2}=2\pi \sum_{pol,\boldsymbol{k}}|\langle \omega 2| V|1\rangle|^2 \end{equation}$$ que da la probabilidad total de emisión, después de sumar las polarizaciones y direcciones de movimiento del fotón. Luego, sumando nuestra expresión para la tasa de decaimiento a largo plazo de manera similar sobre las polarizaciones y los momentos, llegamos a la distribución de frecuencia total para la radiación emitida $$\begin{equation} dw=\frac{\Gamma_{1\rightarrow 2}}{2\pi}\frac{1}{(\omega-\omega_{12})^2+\frac{1}{4}\Gamma_1^2} d\omega \end{equation}$$ Este ensanchamiento de la línea espectral ocurre para un átomo aislado en reposo, a diferencia del ensanchamiento causado por la interacción de átomos con otros átomos ($\textit{collision broadening}$) o por la presencia de átomos en la fuente que se mueven con varias velocidades ($\textit{Doppler broadening}$). se llama el$\textit{natural shape}$, y está claro que es un pico lorentziano como afirman las otras respuestas. (Además: podríamos continuar agregando mejoras a este cálculo teniendo en cuenta la vida útil del nivel$2$).