Valor esperado de 1/r31/r31/r^3 en el estado 2p2p2p de un potencial de Coulomb

He tenido dificultades para calcular esta cantidad.

Tenemos un electrón en el estado 2p de un átomo de hidrógeno (potencial de Coulomb). Como paso preliminar para encontrar la diferencia de energía entre el 2 pag 1 / 2 y 2 pag 3 / 2 estados, estoy tratando de encontrar los valores esperados para S → ⋅ L → y 1 r 3 .

Sin embargo, cuando intento calcular < 1 r 3 > , me encuentro con una integral no convergente.

Si entiendo correctamente las reglas con valores esperados, el operador para < 1 r 3 > sería 1 r 3 ; de este modo,

< 1 r 3 >= ∫ Ψ ∗ 1 r 3 Ψ d V

sobre todo el espacio. Sin embargo, en el estado 2p, la función de onda radial tiene la forma Ψ = C r mi − r / 2 a dónde a es el radio de Bohr y C es un lío de constantes. Insertar esto en la ecuación anterior me da

< 1 r 3 >= 4 π 2 C 2 ∫ 0 ∞ 1 r mi − r / 2 a d r

que no converge en 0 .

Cualquier ayuda sería apreciada.

Respuestas (1)

Si su función de onda es Ψ = C r mi − r / 2 a , entonces no debe olvidar el adicional r 2 obtienes del determinante de Jacobi (en realidad r 2 pecado ⁡ θ , pero el pecado ⁡ θ se contabiliza con el 4 π ) al cambiar de coordenadas:

⟨ 1 r 3 ⟩ = 4 π C 2 ∫ 0 ∞ d r r 2 ⋅ 1 r 3 ⋅ ( r mi − r / 2 a ) 2 = 4 π C 2 ∫ 0 ∞ d r r ⋅ mi − r / a = 4 π C 2 a 2

¡Gracias! Eso explica muchas cosas. Ahora, si pudiera averiguar por qué mi resultado final es 50 órdenes de magnitud más grande de lo que debería ser...
Valor esperado de 1/r31/r31/r^3 en el estado 2p2p2p de un potencial de Coulomb
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v