¿Cálculo de la energía del estado fundamental del hidrógeno?

Queremos encontrar la energía de un átomo de hidrógeno ($Z=1$) en el estado fundamental

$$\psi_{100} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-r}\ \ \ \ \ \ (\mbox{atomic units})$$ con hamiltoniano $$H = -\frac{1}{2}\nabla^2-\frac{1}{r}$$

Entonces

$$\begin{align*} \langle \psi_{100}|H|\psi_{100}\rangle &=\int_0^\infty \int_0^{2\pi} \int_0^\pi r^2\sin\theta\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-r}\left(-\frac{1}{2}\frac{d^2}{dr^2}-\frac{1}{r}\right)\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-r} d\theta d\phi dr \\ &=\int_0^\pi \sin\theta d\theta \int_0^{2\pi}d\phi \int_0^\infty \frac{r^2e^{-r}}{\sqrt{\pi}}\left(-\frac{1}{2\sqrt{\pi}}e^{-r}-\frac{1}{r\sqrt{\pi}}e^{-r}\right)dr \\ &= 4\pi \cdot \frac{1}{\pi}\int_0^\infty \left(-\frac{r^2}{2}e^{-2r}-re^{-2r}\right)dr \\ &= 4\left(-\frac{3}{8}\right) \\ &= -\frac{3}{2} \end{align*}$$

Sin embargo, he leído por todas partes que$E = -\frac{Z^2}{2n^2}$, por lo que para un átomo de hidrógeno en el estado fundamental deberíamos tener$E=-\frac{1}{2}$. Entonces, ¿por qué estoy recibiendo$-\frac{3}{2}$? He verificado dos veces con Mathematica.