Densidad de carga volumétrica del átomo de hidrógeno

Tengo un problema en el que se supone que debo calcular la densidad de carga volumétrica de un átomo de hidrógeno neutro. El potencial se da para ser

$$\Phi = k \frac{e^{-ar}}{r} \left(1 + \frac{ar}{2}\right)$$ Ahora traté de usar la ecuación de Poisson indicando $$\Delta \Phi = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$$ lo que me lleva a $$\rho = \Delta \left( \underbrace{\frac{q}{4 \pi \epsilon_0}}_{= k} \frac{e^{-\alpha r}}{r} \left( 1 + \frac{\alpha r}{2} \right) \right) = k \Delta \Big( \frac{e^{-\alpha r}}{r} + \frac{\alpha e^{-\alpha r}}{2} \Big) = k \left( \Delta \left( \frac{e^{-\alpha r}}{r} \right) + \frac{\alpha}{2} \Delta \left( e^{-\alpha r} \right) \right)$$ Ahora defino $f = e^{-\alpha r}$y $g = \frac{1}{r}$. El laplaciano del producto $fg$es entonces $$\Delta(fg) = g \Delta(f) + f \Delta(g) + \nabla (f) \cdot \nabla (g)$$ y las derivadas son $$\nabla(f) = - \alpha e^{-\alpha r} \hat{ \mathbf r} \qquad \qquad \Delta(f) = \alpha^2 e^{-\alpha r}$$ $$\nabla(g) = - \frac{1}{r^2} \hat{ \mathbf r} \qquad \qquad \Delta(g) = - 4 \pi \delta(r)$$ $$\implies \nabla(f) \cdot \nabla(g) = \frac{\alpha e^{-\alpha r}}{r^2}$$ Insertando esto de nuevo en la ecuación original se obtiene $$\rho = k e^{-\alpha r}\Big( \frac{\alpha^2}{r} - 4 \pi \delta(r) + \frac{\alpha}{r^2} + \frac{\alpha^3}{2} \Big)$$ Sin embargo, esto me parece un poco erróneo, ya que hubiera esperado que la expresión aumentara desde el origen y luego disminuyera después de algún tiempo. $r=R$ya que el potencial del casco de electrones debería hacerse cargo.

¿Alguien puede confirmar que esto es correcto o mostrarme dónde cometí el error?

Además de tomar las derivadas como en coordenadas cartesianas, he intentado calcular el Laplaciano mediante el cálculo en coordenadas esféricas y también usando el Laplaciano esférico.

$$\Delta \Phi = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left(r^2 \frac{\partial \Phi}{\partial r}\right)$$ pero aún obtuve el mismo resultado.