¿Cuál es la distancia esperada del electrón desde el núcleo en el átomo de hidrógeno?

Existe algo llamado regla de recursión de Kramers y creo que es lo que estás buscando.

dónde$k$es entero y$a_0$Radio de Bohr. para derivar$\left\langle r \right\rangle$tienes que calcular$\left\langle r^{-1} \right\rangle$al principio estableciendo$k=0$y luego puedes configurar$k=1$y calcular$\left\langle r \right\rangle$. y por supuesto que sabes$\left\langle r^{0} \right\rangle = 1$.

El resultado es

Fuente: McQuarrie, Quantum Chemistry .

Bethe y Salpeter, en Quantum Mechanics of One- and Two-Electron Atoms (Academic Press, 1957) derivan una expresión general para integrales definidas de funciones de Laguerre asociadas multiplicadas por exponenciales decrecientes multiplicadas por potencias del argumento de Laguerre en las páginas 13 y 14. Usan esta resultado para producir el resultado dado anteriormente por Wagner, que aparece como la ecuación 3.20.

quisiera saber la formula general...

La distancia orbital del electrón, la energía de ionización y la forma se pueden modelar en base a la mecánica clásica cuando la estructura pentaquark descubierta recientemente se utiliza como modelo del protón.

Algoritmo general y cálculo de helio a calcio dentro del documento: "Orbitales atómicos: explicados y derivados por ecuaciones de ondas de energía".:

https://vixra.org/abs/1708.0146

Según el cálculo vinculado, una distancia esperada de electrones para el hidrógeno es:

$r_{1s} = 5.2918*10^{-11}$[metro]

o

$r_{1s} = 52.9$[pm]