Uso del principio de incertidumbre para estimar la energía del estado fundamental del hidrógeno

$\newcommand{\d}[1]{\,\mathrm{d}#1}\newcommand{\pdv}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}\newcommand{\p}{\psi_{100}}\newcommand{\pdvt}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2^2}}$El estado fundamental del hidrógeno es el siguiente:

$$\psi_{100}=Y_{00}\frac{2}{a_0^{3/2}}e^{-r/a_0}$$

El valor esperado del operador de posición en este estado es el siguiente:

$$\begin{align} \left<x\right>&=\iint r^3 \left| \psi_{100}\right| ^2 \d\Omega \d r \\ &= \int (Y_{00})^2 \d \Omega \int \frac{2r^3}{a_0^{3/2}}e^{-r/a_0} \d r \tag{1} \\ &= \int\frac{2r^3}{a_0^{3/2}}e^{-r/a_0} \d r = \frac{3a_0}{2} \tag{2} \end{align}$$

donde usé la ortonormalidad de los armónicos esféricos de ir$(1)$a$(2)$. Omitiré este paso en todos los cálculos a continuación.

De manera similar, el valor esperado del cuadrado del operador de posición es,

$$\left<x^2\right>=\iint r^4 \left| \psi_{100}\right| ^2 \d\Omega \d r = \int\frac{2r^4}{a_0^{3/2}}e^{-r/a_0} \d r = 3(a_0)^{2}$$

De este modo$\Delta x= \sqrt{ 3(a_0)^{2} -\left( \frac{3a_0}{2} \right)^2 } = \frac{\sqrt 3}{2} a_0$

El valor esperado del operador de cantidad de movimiento es cero, ya que puede verse fácilmente mediante

$$\left<p\right>=\iiint\frac{\hbar}{i}\psi_{100} \pdv{\psi_{100}}{x} \d x \d y \d z = \iiint \frac{\hbar}{2i}\pdv{\psi_{100}^2}{x} \d x \d y \d z=0$$

Note que en este caso he usado las coordenadas cartesianas, con las cuales la integral es fácil de evaluar en este caso porque la derivada de una función par es impar y por lo tanto la integral se anula. Nótese también que a excepción de ésta, todas las integrales se evalúan en coordenadas esféricas y, por lo tanto, la$r^2 \d r \d \Omega$término.

El valor esperado del cuadrado del operador de cantidad de movimiento es entonces:

$$-\frac{\left<p^2\right>}{\hbar^2}= \iint r^2 \p \nabla^2 \p \d r \d \Omega = \iint r^2 \p \left( \pdvt{}{r} + \frac{2}{r} \pdv{}{r} + \frac{1}{r^2} \nabla^2_{\theta\phi} \right) \p \d r \d \Omega$$

dónde$\nabla^2_{\theta\phi}$es un término que implica derivadas parciales de$\theta$y$\phi$actuando directamente sobre$\p$.

$$\begin{align} \implies \left<p^2\right> &= -\hbar^2 \int r^2 \p \left( \pdvt{\p}{r} + \frac{2}{r} \pdv{\p}{r} \right) \d r\\ &= \hbar^2 \int \frac{4\,r\,\left( r−2\,a_0\right) \,{e}^{−\frac{2\,r}{a_0}}}{{a_0}^{5}} \d r \\ &= \frac{\hbar^2}{{a_0}^{2}} \end{align}$$

De este modo$\Delta p = \sqrt{\frac{\hbar^2}{{a_0}^{2}}} = \frac{\hbar}{{a_0}}$. Calculando el$\Delta x$y$\Delta p$tomó algo (!) de álgebra. Veamos qué tiene que decir la relación de incertidumbre.

$$\Delta x \Delta p = \hbar \frac{\sqrt 3}{2} \approx 0.866 \hbar \approx \hbar$$

Sabiendo que la relación de incertidumbre daría una incertidumbre mayor que$\hbar/2$tu maestro elige darte$\Delta x \Delta p =\hbar$para que fuera un límite más razonable.

Tenga en cuenta que$\Delta p_x \Delta r$no satisface el principio de incertidumbre en sentido estricto ya que$r$no es conjugado a$p_x$(o$p_y$y$p_z$). En su lugar, puede considerar$\Delta p_x \Delta x$. El estado fundamental del átomo de hidrógeno es

$$\begin{equation} \psi_0(r) = \frac{1}{\sqrt{\pi a^3}} e^{-r/a}, \end{equation}$$ dónde $a$es el radio de Bohr. En primer lugar, $\left< x \right> = 0$, porque $\psi_0$es esféricamente simétrico. La fluctuación en $x$está dado por lo tanto por $$\begin{equation} \Delta x = \sqrt{\left< x^2 \right>} = \sqrt{\frac{\left< r^2 \right>}{3}}, \end{equation}$$ ya que el estado fundamental tiene simetría esférica. Para el valor esperado de $r^2$, encontramos $$\begin{align} \left< r^2 \right> & = \frac{4\pi}{\pi a^3} \int_0^\infty dr \, r^4 e^{-2r/a} \\ & = \frac{4}{a^3} \frac{1}{2^4} \frac{d^4}{d^4(1/a)} \int_0^\infty dr \, e^{-2r/a} \\ & = \frac{1}{8a^3} \frac{d^4}{d^4(1/a)} \frac{1}{1/a} = \frac{4!}{8} a^2 = 3a^2, \end{align}$$ y obtenemos $\Delta x = a$. Próximo, $\left< \vec p \right> = 0$porque la función de onda es real y normalizable ( $\vec p$es hermitiano) por lo que tenemos $$\begin{equation} \Delta p_x = \sqrt{\left< p_x^2 \right>} = \sqrt{\frac{\left< p^2 \right>}{3}}, \end{equation}$$ de manera similar a antes. Con $\left< p^2 \right> = \frac{\hbar^2}{a^2}$( ver la respuesta de gonenc ), encuentras $\Delta p_x = \frac{\hbar}{\sqrt{3}a}$. Finalmente, obtenemos $$\begin{equation} \Delta x \Delta p_x = \frac{\hbar}{\sqrt{3}} \approx 0.58 \hbar > \frac{\hbar}{2}. \end{equation}$$ También tenga en cuenta que desde $\Delta r = \frac{\sqrt{3}}{2} a$( ver la respuesta de gonenc ), tenemos $$\begin{equation} \Delta r \Delta p_x = \frac{\hbar}{2}. \end{equation}$$

La respuesta a la pregunta del OP es que esta es una estimación de orden de magnitud y la persona que realiza la estimación usó valores que se sabía que estaban más cerca de los valores correctos para hacer que la estimación de orden de magnitud se acercara más a la verdadera respuesta.

La mayor parte de mi publicación muestra que hay una opción simple para "r" y "p", por lo que podría decir que$pr=1$exactamente. Agregué esta respuesta principalmente como un ejemplo complementario a la otra respuesta (que se ejecuta a través de un cálculo explícito utilizando la función de onda del estado fundamental en la base de la posición).

Si haces la identificación:

$$\left\langle{\frac{1}{r}}\right\rangle\sim \frac{1}{r}\;,$$ donde el$r$en el LHS es un operador y el$r$en el RHS se identifica con el símbolo$r$en la publicación original.

Y si haces la identificación:

$$\langle p^2\rangle \sim p^2\;,$$ donde, de nuevo, el operador$p^2$está en el LHS y su valor esperado se identifica con el cuadrado del símbolo$p$de la publicación original.

Con estas definiciones es fácil demostrar que$pr=\hbar$para el estado fundamental del átomo de hidrógeno.

Para mantener las cosas limpias, usaré unidades Gaussian Atomic Hartree donde$e=\hbar=m_e=1$y donde el potencial debido al núcleo de hidrógeno es$e/r$. (No hay "$4\pi\epsilon_0$" en unidades gaussianas).

Por el Teorema de Virial para el átomo de Hidrógeno

$$E=-\frac{1}{2}\left\langle\frac{1}{r}\right\rangle$$ de modo que para el estado fundamental (para el cual E=-13.6eV=-1/2 (en unidades atómicas)) $$\left\langle\frac{1}{r}\right\rangle=1$$ Es decir, $$r=1\;,$$ dónde "$r$" ahora se identifica con el símbolo en la publicación original como se describe arriba. [Tenga en cuenta que no es el caso que$\langle 1/r\rangle =1/\langle r\rangle$, es decir, no hay conflicto con la otra respuesta que funcionó con$r\sim \langle r\rangle$en vez de$r\sim 1/\langle 1/r\rangle$.]

Del mismo modo, el Teorema de Virial dice

$$2\langle T\rangle=\langle p^2\rangle=\left\langle\frac{1}{r}\right\rangle\;,$$ lo que significa, para el estado fundamental, $$\langle p^2\rangle =1\;,$$ es decir, $$p=1$$ dónde "$p$" ahora se identifica con el símbolo en la publicación original como se describe anteriormente.

Así, para el estado fundamental del hidrógeno, con las identificaciones antes mencionadas

$$pr=1=\hbar$$