¿Qué tamaño tiene un átomo de hidrógeno excitado?

Question

¿Qué tamaño tiene un átomo de hidrógeno excitado?

Charles

Supongamos un universo vacío con la excepción de un solo átomo de hidrógeno (1 protón, 1 electrón). El electrón puede estar en su estado fundamental o puede estar excitado un cierto número de niveles. Supongamos que está al nivel $n$ .

Elija alguna medida de tamaño razonable, por ejemplo, la distancia promedio del electrón al protón o el radio de la esfera que rodea al protón que, con una probabilidad suficientemente alta (por ejemplo, $1 - 10^{-20}$ ), contienen el electrón. Si alguna otra definición de tamaño es más fácil de calcular, estaría feliz de usarla en su lugar.

¿Cómo crece este tamaño con $n$ ?

Me inspiré en esta pregunta sobre el límite de Bekestein , en particular la sugerencia de Jerry Schirmer de almacenar la información en un solo átomo. He visto esta idea lanzada antes, pero nunca la analicé adecuadamente. En particular, el límite parece establecer límites (débiles) sobre qué tan cerca podría estar el electrón del protón en un estado altamente excitado, aunque quizás la alta probabilidad de escape del electrón cause estragos en el límite.

Asaf

Los átomos altamente excitados se llaman átomos de Rydberg. Son un tema candente actual en la investigación, pero uno de los principales desafíos de alcanzar valores arbitrariamente altos de

n

$n$ es el hecho de que la polarizabilidad escala como

n^{7}

$n^7$ por lo tanto, la variación más mínima en el campo eléctrico produciría una fuerza muy grande en el átomo.

Respuestas (4)

¿Qué tamaño tiene un átomo de hidrógeno excitado?

Los átomos altamente excitados se llaman átomos de Rydberg. Son un tema candente actual en la investigación, pero uno de los principales desafíos de alcanzar valores arbitrariamente altos de $n$ es el hecho de que la polarizabilidad escala como $n^7$ por lo tanto, la variación más mínima en el campo eléctrico produciría una fuerza muy grande en el átomo.

por simetría · Answer 1

Del Teorema de Virial podemos decir que la energía total del átomo es proporcional a la energía potencial del átomo. La energía potencial viene dada por un potencial de culombio, por lo que será aproximadamente proporcional a $\frac{1}{\langle r \rangle}$ dónde $\langle r \rangle$ es el radio medio del orbital del electrón. Para un átomo de hidrógeno la energía $E\propto \frac{1}{n^2}$ , por lo que esperaríamos

\begin{aligned} \frac{1}{⟨ r ⟩} & \propto \frac{1}{{norte}^{2}} \\ ⟨ r ⟩ & \propto {norte}^{2} \end{aligned}

$\begin{align}\frac{1}{\langle r \rangle} & \propto \frac{1}{n^2}\\ \langle r \rangle &\propto n^2\end{align}$

Desafortunadamente, esto no te ayuda mucho a almacenar tu cantidad infinita de información en un solo átomo. Para obtener una estimación de $\langle r \rangle$ necesita hacer muchas mediciones de la posición del electrón (especialmente si está en una distribución muy dispersa, como para un alto $n$ estado) cada una de estas mediciones colapsará la función de onda y tendrá que preparar el átomo en su estado inicial nuevamente antes de realizar la siguiente medición... ¡pero eso era exactamente lo que estaba tratando de determinar midiendo el electrón! Para determinar el estado de su átomo, necesita un conjunto de cantidades que se pueden medir simultáneamente y determinar de manera única en qué estado estaba su átomo por primera vez, lo que para un átomo de hidrógeno significa esencialmente que desea la energía y el momento angular. Ahora, el momento angular no debería causarte demasiados problemas; está muy bien cuantificado en múltiplos enteros de $\hbar$ . Sin embargo, la energía te dará un problema. Como $E \propto -n^{-2}$ , para grande $n$ , la separación de los niveles de energía es como

\begin{aligned} \frac{1}{{norte}^{2}} - \frac{1}{(norte + 1)^{2}} & = \frac{1}{{norte}^{2}} [1 - (1 + \frac{1}{norte})^{- 2}] \\ \approx \frac{2}{{norte}^{3}} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} &= \frac{1}{n^2}\left[ 1 - (1+ \frac{1}{n})^{-2}\right]\\ &\approx \frac{2}{n^3}\end{align}$ Eso se volverá muy pequeño muy rápido y la precisión con la que puede medir esa separación limitará la cantidad de información que prácticamente puede almacenar.

En otras palabras, para un tamaño suficientemente grande $n$ , sería difícil de medir $n$ precisamente.

DavePhD · Answer 2

$r=n^2a_0$ para el modelo de Bohr.

De manera similar, en el modelo de Schrödinger, el radio más probable es $r=n^2a_0$ , cuando $n=l+1$

Vladímir Kalitvianski · Answer 3

Sí, el radio medio crece a medida que $n^2$ asintóticamente, pero tener $1-10^{-20}$ seguro que tienes que añadir alguna más ;-). Los átomos altamente excitados se denominan átomos de Rydberg y se tratan en experimentos.

¡Gracias! ¿Significa "algo más" multiplicar por una constante (grande), o se escalará más rápido como $n$ aumenta?
Para responder a tu pregunta, tengo que realizar la investigación correspondiente ;-)

Selene Routley · Answer 4

Aquí hay otro método directo para ir con (y estar de acuerdo con) el método del teorema de Virial dado en la respuesta de By Symmetry .

De la solución de la ecuación de Schrödinger (consulte el encabezado "Resumen matemático de los estados propios del átomo de hidrógeno" en la página de Wikipedia "Átomo de hidrógeno" ):

ψ_{norte, ℓ, metro} (r, ϑ, φ) = \sqrt{{(\frac{2}{norte a_{0}})}^{3} \frac{(norte - ℓ - 1)!}{2 norte (norte + ℓ)!}} {mi}^{- ρ / 2} ρ^{ℓ} L_{norte - ℓ - 1}^{2 ℓ + 1} (ρ) Y_{ℓ}^{metro} (ϑ, φ)

$\psi_{n,\,\ell,\,m}(r,\vartheta,\varphi) = \sqrt {{\left ( \frac{2}{n a_0} \right )}^3\frac{(n-\ell-1)!}{2n(n+\ell)!} } e^{- \rho / 2} \rho^{\ell} L_{n-\ell-1}^{2\ell+1}(\rho) Y_{\ell}^{m}(\vartheta, \varphi )$

dónde $n$ es el número cuántico principal, $\ell$ y $m$ los números cuánticos del momento angular, $\rho = 2\,r/(n\,a_0$ y $a_0$ es el radio de Bohr. De este modo:

\bar{r} = \frac{\int_{r = 0}^{\infty} | ψ (r) |^{2} r^{3} d r}{\int_{r = 0}^{\infty} | ψ (r) |^{2} r^{2} d r} \approx \frac{\int_{r = 0}^{\infty} {mi}^{- \frac{2 r}{a_{0} norte}} {(\frac{r}{a_{0} norte})}^{2 norte} r^{3} d r}{\int_{r = 0}^{\infty} {mi}^{- \frac{2 r}{a_{0} norte}} {(\frac{r}{a_{0} norte})}^{2 norte} r^{2} d r} = norte (norte + \frac{3}{2}) a \sim {norte}^{2}

$\bar{r}=\frac{\int_{r=0}^\infty\,|\psi(r)|^2\,r^3\,{\rm d} r}{\int_{r=0}^\infty\,|\psi(r)|^2\,r^2\,{\rm d} r}\approx \frac{\int_{r=0}^\infty\,e^{-\frac{2\, r}{a_0\, n}} \left(\frac{r}{a_0\,n}\right)^{2\, n}\,r^3\,{\rm d} r}{\int_{r=0}^\infty\,e^{-\frac{2\, r}{a_0\, n}} \left(\frac{r}{a_0\,n}\right)^{2\, n}\,r^2\,{\rm d} r}= n\,(n+\frac{3}{2})\,a \sim n^2$

y la solución de la ecuación de Dirac dará un resultado muy parecido.

todos dan $a_0 n^2$ , pero la pregunta es hasta dónde se debe integrar para obtener la probabilidad $1-10^{-20}$ .
@VladimirKalitvianski Necesitaré más tiempo para jugar con series asintóticas para eso, pero estaría casi seguro $r_\epsilon$ será proporcional a $n^2$ para lo suficientemente pequeño $\epsilon$ .

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