¿Cuál es el significado de propagador en el contexto de la teoría de la red?

Question

¿Cuál es el significado de propagador en el contexto de la teoría de la red?

Física
propagador
bosonización
modelo de celosía
teoría cuántica de campos

Weicheng Ye

decir en $1+1D$ teoría del fermión libre, es fácil calcular el propagador en la teoría del campo (efectivo) para ser

⟨ ψ^{†} (z) ψ (z^{'}) ⟩ = \frac{1}{2 π} \frac{1}{z - z^{'}}

$\langle \psi^\dagger(z)\psi(z')\rangle = \frac{1}{2\pi}\frac{1}{z-z'}$

(en la notación de https://arxiv.org/abs/cond-mat/9908262 ). ¿Cuál es el significado de esto en la teoría de la red? Especialmente, hay una singularidad cuando $z\rightarrow z'$ que no está presente en la teoría de la red. ¿Cómo explicar esta discrepancia?

AccidentalFourierTransformar

Bueno, ¿cuál es el significado del propagador en la teoría del campo continuo?

Respuestas (2)

¿Cuál es el significado de propagador en el contexto de la teoría de la red?

Bueno, ¿cuál es el significado del propagador en la teoría del campo continuo?

Lorenz Mayer · Answer 1

Preferiría responder a su pregunta general en un contexto diferente, porque el ejemplo que menciona tiene una dificultad que es especial para el QFT elegido y no para la cuestión del significado de las singularidades en las funciones de dos puntos. En particular, existe el problema de la duplicación de fermiones, es decir, que es imposible colocar un solo fermión quiral que no interactúe en la red.

Por lo tanto, permítame discutir su pregunta en el caso más simple: un campo escalar en $(0+1)$ dimensiones. Nuestra variable es un campo. $\phi : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto \phi(x).$ Para simplificar, estableceré la constante de red en $1$ . Esto solo significa que estoy midiendo distancias en unidades de la constante de red.

Ahora considere la función de Green

\begin{matrix} (1) & GRAMO (X - y) = ⟨ ϕ (X) ϕ (y) ⟩ \end{matrix}

$G(x-y) = \langle \phi(x) \phi(y) \rangle \tag{1}$

Esto resuelve la ecuación de diferencia

2 GRAMO (X) - GRAMO (X + 1) - GRAMO (X - 1) = d_{X, 0} .

$2G(x) - G(x+1) - G(x-1) = \delta_{x,0} \ .$

Esto puede resolverse mediante una transformada de Fourier; escribir

GRAMO (X) = \int_{- π}^{π} \frac{d pag}{2 π} \hat{GRAMO} (pag) {mi}^{i pag X} .

$G(x) = \int_{-\pi}^\pi \frac{ d p}{2\pi} \hat{G}(p) e^{ i p x} \ .$

Insertar en la ecuación $(1)$ da

\hat{GRAMO} (pag) = \frac{1}{2} \frac{1}{1 - porque (pag)} .

$\hat{G}(p) = \frac{1}{2}\frac{1}{1-\cos(p)} \ .$

Esto es suave excepto en $0$ . Para analizar más a fondo la singularidad en $p=0$ volver a escribir:

2 - 2 porque (pag) = {pag}^{2} - \frac{1}{12} {pag}^{4} + O ({pag}^{6}) = {pag}^{2} (1 - \frac{1}{12} {pag}^{2} + O ({pag}^{4}))

$2 - 2 \cos(p) = p^2 - \frac{1}{12} p^4 + \mathcal{O}(p^6) = p^2\left(1 -\frac{1}{12} p^2 + \mathcal{O}(p^4)\right)$

de modo que

\begin{matrix} (2) & \hat{GRAMO} (pag) = \frac{1}{{pag}^{2}} \frac{1}{1 - \frac{1}{12} {pag}^{2} + O ({pag}^{4})} = \frac{1}{{pag}^{2}} (1 + \frac{1}{12} {pag}^{2} + O ({pag}^{4})) = \frac{1}{{pag}^{2}} + \frac{1}{12} + O ({pag}^{2}) . \end{matrix}

$\hat{G}(p) = \frac{1}{p^2}\frac{1}{1 - \frac{1}{12} p^2 + \mathcal{O}(p^4)} = \frac{1}{p^2}\left(1 + \frac{1}{12} p^2 + \mathcal{O}(p^4)\right) = \frac{1}{p^2} + \frac{1}{12} + \mathcal{O}(p^2) \ . \tag{2}$

Por eso

\hat{GRAMO} (pag) - \frac{1}{{pag}^{2}}

$\hat{G}(p) - \frac{1}{p^2}$

es suave en $[-\pi,\pi]$ . Después de estos comentarios preparatorios, escribimos

GRAMO (X) = {GRAMO}_{C} (X) + {GRAMO}_{1} (X) + {GRAMO}_{2} (X)

$G(x) = G_c(x) + G_1(x) + G_2(x)$

con

{GRAMO}_{C} (X) = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d pag}{2 π} \frac{1}{{pag}^{2}} {mi}^{i pag X}

$G_c(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dp}{2\pi} \frac{1}{p^2} e^{i p x}$

La función continua de Green como se explicará en breve, entonces hay dos términos de error:

{GRAMO}_{1} (X) = \int_{- π}^{π} \frac{d pag}{2 π} [\hat{GRAMO} (pag) - \frac{1}{{pag}^{2}}] {mi}^{i pag X} .

$G_1(x) = \int_{-\pi}^\pi \frac{ d p}{2\pi} \left[ \hat{G}(p) - \frac{1}{p^2} \right]e^{ i p x} \ .$

Como se muestra en la ecuación $(2)$ , el integrando es suave. Por el Lema de Riemann-Lebesgue podemos concluir inmediatamente que $G_1(x)$ decae exponencialmente al aumentar $x$ !

El otro término de error es

{GRAMO}_{2} (X) = - \int_{π}^{\infty} \frac{d pag}{π} \frac{porque (pag X)}{{pag}^{2}} .

$G_2(x) = - \int_{\pi}^\infty \frac{d p}{\pi} \frac{\cos(p x)}{p^2} \ .$

$G_2$ , nuevamente por Riemann-Lebesgue, decae exponencialmente al aumentar $x$ !

Por otro lado, $G_c(x)$ satisface la ecuación del continuo

- {GRAMO}_{C}^{″} (X) = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d pag}{2 π} {mi}^{i pag X} = d (X)

$-G_c''(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dp}{2\pi} e^{i p x} = \delta(x)$

y por lo tanto $G(x) = - \frac{|x|}{2}$ . Por lo tanto, si consideramos grandes distancias, las partes exponencialmente decrecientes $G_1,G_2$ se volverá cada vez más irrelevante, mientras que la parte continua que crece linealmente $G_c$ será cada vez más importante!

Por otro lado, para distancias pequeñas, no hay razón para descuidar los términos $G_1,G_2$ .

Jacobo · Answer 2

Debido a que son propagadores, contienen mucha información dinámica detallada, y debido a que son valores esperados en algún conjunto estadístico, contienen toda la información mecánica estadística.

¿Cuál es el significado de propagador en el contexto de la teoría de la red?

Weicheng Ye

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Lorenz Mayer

Jacobo

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