Definiciones de Derivada: h→0h→0h \to 0 vs z→xz→xz \to x

En cualquier caso, el punto base de la recta tangente está en el punto$(x,f(x))$.

En la primera definición de la derivada, el punto cercano es$(x+h,f(x+h))$. Esta formulación enfatiza el desplazamiento ($h$desde el punto base hasta el punto cercano). Como$h\to 0$, el punto cercano se acerca al punto base, por lo que las pendientes se acercan a la pendiente de la recta tangente.

En la segunda definición de la derivada, el punto cercano es$(z,f(z))$. Como$z\to x$, nuevamente el punto cercano se acerca al punto base, y así nuevamente las pendientes se aproximan a la pendiente de la línea tangente.

Creo que te has dado cuenta de que podemos escribir$h$como$h = z - x$, entonces$f(x+h)=f(x+z-x)$por lo tanto es igual$f(x)$. Y, como sabemos por la geometría, una pendiente tangente$m$se define como$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$, y una derivada de una función también se define como una pendiente tangente. Por lo tanto, en el contexto de la derivación,$f'(x)=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{f(z)-f(x)}{z-x}$.