¿Por qué no se puede demostrar el segundo teorema fundamental del cálculo en solo dos líneas?

El problema con tu prueba es la afirmación.

Ahora$dF$es solo el pequeño cambio en$F$y$f(x)dx$representa el área infinitesimal delimitada por la curva y el$x$eje.

De hecho, eso es intuitivamente claro y es la esencia de la idea detrás del teorema fundamental del cálculo. Es más o menos lo que dijo Leibniz. Puede ser obvio en retrospectiva, pero fue necesario que Leibniz y Newton se dieran cuenta (aunque estaba en el aire matemático en ese momento).

El problema de llamar a eso una "prueba" es el uso de la palabra "infinitesimal". ¿Qué es un número infinitesimal? Sin una definición formal, su prueba no es una.

A los matemáticos les tomó varios siglos aclarar esto. Una forma de hacerlo es la prueba larga con límites de las sumas de Riemann a la que te refieres. Otra forma más nueva es hacer que la idea de un número infinitesimal sea lo suficientemente rigurosa como para justificar tu argumento. Eso se puede hacer, pero no es fácil.

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Editar en respuesta a esta nueva parte de la pregunta:

Además, hacemos este tipo de cosas en física todo el tiempo.

Por supuesto. Lo hacemos también en matemáticas, porque puede convertirse en un argumento riguroso si es necesario. Sabiendo eso, no tenemos que escribir ese argumento cada vez, y podemos confiar en nuestra intuición entrenada. De hecho, puede usar esa intuición de manera segura, incluso si personalmente no sabe o no comprende cómo formalizarla.

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Las variaciones en su pregunta surgen mucho en este sitio. Aquí hay algunas preguntas y respuestas relacionadas.

• ¿La heurística más útil?

• Qué es$dx$en la integración?

• ¿Cuál es la lógica detrás de la descomposición de un símbolo de operador derivado? ¿En la ecuación de crecimiento de la población?

• ¿Qué significa la derivada del área con respecto a la longitud?

• ¿Hay conceptos en el análisis no estándar que son útiles para que los conozca un estudiante de introducción al cálculo?

• El problema de la velocidad instantánea

• Rigurosa definición de "diferencial"

• Es$\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$no es una proporción?

Muchas respuestas aquí parecen sugerir que lo que le falta a su argumento es simplemente una teoría rigurosa de los infinitesimales.

No. Su argumento es simplemente incorrecto, independientemente de si hay un significado claro de infinitesimales. Tenga en cuenta que su argumento no hace uso de la condición de que$f$es continua (por lo tanto, integrable). Sin embargo, hay ejemplos de$F$cuyos derivados$f$no son integrables (ver este hilo por ejemplo).

Permítame traducir su línea "Multiplicando ambos lados por$dx$, obtenemos$dF=f(x)dx$." en lo que, interpretado estrictamente, dijiste:

"Fingiendo que los símbolos$\mathrm{d}x$y$\mathrm{d}F$tener existencia fuera del símbolo$\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x}$, lo cual no está justificado, podemos multiplicar ambos lados por$\mathrm{d}x$, obteniendo

$$0 = \mathrm{d}F = f(x) \mathrm{d}x = 0 \text{,}$$ lo cual, si bien es cierto, ha destruido toda la información en nuestra ecuación".

¿Por qué es esto? Porque$\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x}$se define como

$$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{(x+h) - x} \text{.}$$ Suponiendo que exista este límite (que felizmente usted ha afirmado), podríamos intentar aplicar leyes de límites para obtener $$\frac{\lim_{h \rightarrow 0} F(x+h) - F(x)}{\lim_{h \rightarrow 0} (x+h) - x} \text{.}$$ Sin embargo, esto da un denominador de $0$, por lo que está prohibido por las leyes de límite. (De hecho, da $0/0$, lo que sugiere que uno debe ser más cuidadoso al explicar cómo se está acercando sigilosamente a esta proporción). Como ignora este problema, ha multiplicado ambos lados de la ecuación por $\mathrm{d}x = \lim_{h \rightarrow 0} (x+h) - x = 0$. Afortunadamente, su lado izquierdo restante es $\lim_{h \rightarrow 0} F(x+h) - F(x) = 0$. Entonces llegas a la verdadera ecuación. $0=0$, pero esto es completamente desinformativo. No quedan infinitesimales (cualesquiera que sean).

En respuesta a la respuesta general de OP:

Una integral es un límite de sumas de cantidades no infinitesimales. Una integral no puede ser la suma de infinitesimales porque la suma de cualquier número de ceros, incluso infinitos ceros, es cero. Esto es bastante fácil de ver al considerar la secuencia (ordinal indexada) de sumas parciales, que siempre son cero.

La derivada es una forma indeterminada de tipo "$0/0$". La integral es una forma indeterminada del tipo "$\infty \cdot 0$". Como señalé anteriormente, debemos tener cuidado en la forma en que nos acercamos sigilosamente a tales formularios para evitar absurdos.

Los intentos de usar infinitesimales fallaron rigurosamente. (Del artículo "Continuidad e infinitesimales" de la Enciclopedia de Filosofía de Stanford)

Por muy útil que haya sido en la práctica, el concepto de infinitesimal difícilmente podría resistir el escrutinio lógico. Burlado por Berkeley en el siglo XVIII como "fantasmas de cantidades que se han ido", en el siglo XIX execrado por Cantor como "bacilo del cólera" que infecta las matemáticas, y en el siglo XX condenado rotundamente por Bertrand Russell como "innecesario, erróneo y autocontradictorio". ”

Observa que parece que uno debe aprender alguna otra forma de matemáticas antes de intentar derivadas e integrales. Estoy de acuerdo. Para calcular rigurosamente los límites de los cocientes de diferencias (derivadas) y los límites de las sumas de Riemann (integrales), primero se debe aprender a encontrar los límites de las sucesiones simples. Pero hay un problema de arranque. Como consecuencia, en la práctica, enseñamos lo que se podría llamar diferenciación e integración ingenuas en Cálculo I/II/III y diferenciación e integración rigurosas en alguna clase con un nombre como Cálculo Avanzado. Las recetas para diferenciar la canasta común de funciones (polinomios, funciones trigonométricas, exponenciales y logaritmos) son lo suficientemente simples como para enseñarlas desde el principio. Pero hay un completo$\epsilon$-$\delta$tratamiento de uso a quienes enfrentan funciones que no están en esa canasta.

En el siglo XX, ha habido algún progreso en hacer que los infinitesimales sean rigurosos. Los artículos útiles son el análisis no estándar y los números duales . (Aparte: las primeras palabras del artículo de análisis no estándar son

La historia del cálculo está plagada de debates filosóficos sobre el significado y la validez lógica de las fluxiones o números infinitesimales. La forma estándar de resolver estos debates es definir las operaciones de cálculo utilizando procedimientos épsilon-delta en lugar de infinitesimales".

Dado que uno desea realizar matemáticas a partir de verdades evidentes, rechaza objetos con significado discutible o validez lógica cuestionable). Hay críticas al análisis no estándar . Si bien sé que los números duales se pueden usar para la diferenciación automática, nunca he visto un intento de usarlos como infinitesimales en una teoría de integración.

Además, hacemos este tipo de cosas en física todo el tiempo.

Esto vale una respuesta breve y ligeramente filosófica propia.

Vale la pena entender cómo se relacionan la física y las matemáticas en límites de ondas manuales como estos. En física, haces pasos como este sabiendo que podrías estar equivocado . Luego, busca simultáneamente experimentos para respaldar el cálculo y pruebas matemáticas. Y en los casos en los que encuentra una justificación experimental pero carece de una prueba matemática, los físicos matemáticos utilizan su experimento como punto de partida para buscar una prueba matemática.

El uso de la palabra "infinitesimal" es un punto único en el que "desorden" se encuentra con "rigor" y tiene una tremenda historia detrás. La historia muy concisa es que, si bien la intuición conduce a resultados correctos en pruebas de dos líneas muchas veces, conduce a pruebas manifiesta o sutilmente incorrectas algunas veces. Los matemáticos alrededor de Leibniz resolvieron este conflicto yendo al máximo rigor.

En su caso, es solo el hecho de que la teoría matemática se entiende lo suficientemente bien como para que el físico sea descuidado y no se retire más sabio. Pero los físicos también usan experimentos para justificar sus hallazgos, y sus hallazgos están bien respaldados por matemáticos interesados ​​en argumentos rigurosos. Es mejor no ser demasiado arrogante con atajos como estos, cuando funcionan debido a una combinación de evidencia experimental, el trabajo de otros científicos rigurosos del pasado y del presente, y cierta tolerancia a la posibilidad de equivocarse.

Y si es tan simple, ¿qué tiene de fundamental?

Una de las razones por las que se puede decir que este teorema es "fundamental" es precisamente porque es la herramienta básica que nos permite convertir argumentos informales como el suyo en hechos establecidos con precisión.

(de paso,$\int_a^b f$y$\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x$ambas son notaciones razonables, pero$\int_a^b f(x)$es mucho no )

Desde$F$es una antiderivada de$f$, tenemos$\frac{dF(x)}{dx} = f(x)$. Multiplicando ambos lados por$dx$, obtenemos$dF(x) = f(x)dx$. Ahora$dF(x)$es solo el pequeño cambio en$F(x)$y$f(x)dx$representa el área infinitesimal delimitada por la curva y el$x$eje. Entonces, integrando ambos lados, llegamos al resultado requerido.

(nota: he hecho correcciones gramaticales a las matemáticas en esta cita

Claro, pero estás pidiendo la pregunta. — estás usando el teorema fundamental del cálculo para decir "integrar$\mathrm{d}F(x)$durante un intervalo le da el cambio en$F(x)$", por lo que no es una muy buena demostración del teorema.

La forma en que un estudiante de Calc II traduciría esto en un argumento riguroso sería

• Sustituyendo$u = F(x)$da$\int_{F(a)}^{F(b)} \mathrm{d}u = \int_a^b f(x) \mathrm{d}x$
• Aplicando el teorema fundamental del cálculo nos dice$\int_{F(a)}^{F(b)} \mathrm{d}u = F(b) - F(a)$

Su argumento tiene la complicación adicional de trabajar en términos de diferenciales, que, si bien es una gran cosa, en este punto de su educación probablemente no sepa realmente cuáles son, aunque los haya visto lo suficiente como para poder imitar los argumentos que la gente hace con ellos. El "cambio infinitesimal en$x$" heurística es una analogía, y realmente no se sostiene cuando se enfatiza.

No me malinterpreten: en mi opinión, los diferenciales son grandes cosas y se debe formular más cálculo en términos de ellos.

Sin embargo, ese enfoque generalmente no se enseña, presumiblemente porque tiene la complicación adicional de tener que aprender realmente qué son los diferenciales, y trabajar con las diversas reglas derivadas e integrales es un sustituto perfectamente bueno para la mayoría de los propósitos.

Si consigues dar un significado matemático preciso a$\Bbb d x$ya la multiplicación de una función por ella, entonces, de hecho, su prueba es correcta. Pero, ¿qué significado le das a esto? De hecho, toda la teoría necesaria para hacer esto ocupa decenas de páginas, y dado que su prueba se basaría en ellas, esto significa que no sería solo una línea.

La siguiente parte sería justificar formalmente la afirmación de que$f(x) \Bbb d x$es solo un "área infinitesimal" (¿qué podría significar esto?).

Hay varios lugares en tu prueba donde haces aproximaciones.

Multiplicando ambos lados por$dx$, (…)

Las reglas de las multiplicaciones se aplican a los números, pero$dx$no es un numero Si$dx$entonces era un número distinto de cero$\dfrac{\cdot}{dx} dx$cancelaría, pero ¿eso funciona para$dx$?

$f(x)dx$representa el área infinitesimal delimitada por la curva y el$x$eje.

$f(x) dx$es el área de un rectángulo de altura$f(x)$y ancho$dx$. El área entre el$x$eje y la curva no es un rectángulo (a menos que$f$es constante alrededor$x$). ¿Por qué la suma de áreas aproximadas daría el resultado correcto al final, en lugar de una aproximación que puede ser buena o no?

Entonces integrando ambos lados, (…)

Esta es una suma infinita. ¿Las reglas de las sumas finitas funcionan para sumas infinitas?

Todas estas aproximaciones funcionan siempre que la función sea razonablemente regular. Bueno, por eso el teorema tiene algunas hipótesis...$f$es continua y es una derivada de$F$” es una condición suficiente para “razonablemente regular”.

La demostración clásica del teorema que ha leído en su libro, en Wikipedia y en otros lugares sigue la misma ruta que la suya, pero lleva tiempo justificar todas las aproximaciones:

• En lugar de razonar sobre "infinitesimal"$dx$, razona sobre números reales. La intuición de los infinitesimales surge de números que tienden a cero.
• Verifica que hay una forma de igualar el área bajo la curva al área de un rectángulo de ancho$dx$.
• Da una noción precisa de la suma de esos números muy pequeños y justifica la idea de una suma infinita al mostrar que no importa cómo se divide el intervalo en pequeñas porciones.

(También es posible razonar formalmente sobre infinitesimal , y luego se necesita menos trabajo para que cada uno de esos pasos funcione, pero se necesita más trabajo para preparar las bases al principio).

Los físicos hacen aproximaciones todo el tiempo, pero necesitan justificar estas aproximaciones, ya sea con argumentos matemáticos ("este es el efecto de primer orden, por lo que es válido para cantidades pequeñas") o con argumentos experimentales (haga el cálculo aproximado, mida el efecto real y comprobar que están de acuerdo). Para tener una idea de cuándo se justifican las aproximaciones, debe tener cierta intuición física sobre el fenómeno que modelan las ecuaciones. En particular, los físicos saben que todas las funciones son infinitamente regulares, excepto cuando no lo son, y eso se llama singularidad.

¡Las singularidades son precisamente donde falla el teorema fundamental del cálculo! Intuitivamente hablando, la hipótesis de regularidad es “sin singularidad”. (También es posible hacerlo funcionar con singularidades, pero luego$f$ya no es una función sino una distribución .)

Por ejemplo, considere la función delta de Dirac . Eso es$F(x) = 0$para$x \lt 0$,$F(x) = 1$para$x \gt 0$,$f(x) = 0$para$x \lt 0$y para$x \gt 0$. No está claro cómo definir$F(0)$y$f(0)$, pero en realidad no importa, ya que es solo un punto, tiene cero ancho... ¿verdad?

Bien entonces,$f(x) dx = 0$en todas partes desde$f(x) = 0$, así que si los sumas todos obtienes$F(x) = 0$en todos lados. Vaya, ¿dónde nos equivocamos?

Algo tiene que ceder. Resulta que sí importa cómo$F$y$f$se definen en$0$. Puedes decir eso$F$no tiene derivada en$0$y entonces el teorema no se aplica: en el primer paso, no hay ecuación donde puedas multiplicar por$dx$. O puedes decir que la derivada de$F$no es una función (no hay función que encaje) sino algún objeto que a veces se comporta como una función ya veces no; por eso se inventaron las distribuciones. Luego en el segundo paso$f(x)dx$no es infinitesimal en$x=0$: ahí es donde se encuentra toda la zona. Sea cual sea el enfoque que adopte, hay una singularidad en$0$y las aproximaciones permitidas por la regularidad se rompen.

De hecho, su prueba puede hacerse rigurosa en el marco de Robinson para el cálculo con infinitesimales; véase, por ejemplo, el libro de texto de Keisler Elementary Calculus .

Su comentario final recién agregado a la pregunta indica que usted es físico. Si es así, puede ignorar con seguridad la mayoría de las otras respuestas aquí.

En Physics SE puede obtener algunas respuestas que aborden sus inquietudes de manera más directa; ver por ejemplo esta respuesta .

Cabe señalar que el desarrollo del cálculo de Keisler utilizando infinitesimales es totalmente riguroso. Algunos aspectos técnicos se abordan en el volumen complementario Foundations of Infinitesimal Calculus .

Que se deban asumir algunos detalles fundamentales es natural en un curso de cálculo de primer año. Por ejemplo, el curso típico de cálculo no construye el campo de números reales, ya sea mediante el enfoque de Cantor o mediante el enfoque de Dedekind. Este material se deja apropiadamente para un curso más avanzado.

Cuando ves infinitesimales ($dx, dy$) en una expresión, es útil pensar en ellos como pequeños números positivos ($\Delta x, \Delta y$), junto con el entendimiento de que no está terminado hasta que tome el límite (es decir, donde$\Delta x$va a cero).

Esto es básicamente lo que hacemos en las pruebas de cálculo: trabajamos con deltas y luego tomamos el límite de la expresión resultante. Antes de tomar el límite, solo estamos trabajando con cantidades numéricas. Entonces, en algunos casos, puede haber factores delta comunes en el numerador y el denominador que van a cero a la misma tasa y pueden cancelarse. Si puede reducir la expresión a uno donde establecer los valores delta en cero no conducirá a una singularidad o una expresión indeterminada, entonces puede reemplazarlos con seguridad con cero para tomar el límite.

Ejemplo:

$$\frac{d}{dx}x^2 = \frac{d(x^2)}{dx}$$

$$= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x+\Delta x)^2 - x^2}{\Delta x}$$

$$= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x^2 + 2x\Delta x + \Delta x^2) - x^2}{\Delta x}$$

$$= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{x^2 + (2x\Delta x + \Delta x^2) - x^2}{\Delta x}$$

$$= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{2x\Delta x + \Delta x^2}{\Delta x}$$

$$= \lim_{\Delta x\to 0} ( 2x + \Delta x )$$

$$= 2x$$

Mientras$\Delta x$no es cero, se puede dividir por$\Delta x$, que le permite factorizar el común$\Delta x$del numerador y del denominador.

En la expresión restante,$\Delta x$es solo un término de la suma, y ​​ahora, si llega a cero, simplemente se puede eliminar.

Esto puede ayudar a explicar por qué "multiplicar por$dx$" parece funcionar, ya que, antes de tomar el límite, es válido multiplicar por$\Delta x$. Pero en algún momento, debe tomar el límite, y la pregunta fundamental es si puede hacerlo sin tener que realizar una operación no válida, como dividir por cero.

Tenga en cuenta que siempre puede convertir una ecuación falsa, como$3=5$, en uno verdadero al multiplicar ambos lados por cero, pero no prueba nada acerca de la expresión original para hacer eso. Así que "multiplicando ambos lados por$dx$" no necesariamente logra nada significativo.

Aquí hay una prueba que creo que te gustará: Toma g(x) =$\int_{a}^{x} f(t) dt$entonces por la Parte 1 de FTC sabemos que g' = f(X). Ahora supongamos que F(x) es otra antiderivada de f, entonces sabemos que

F(x) = g(x) + C

Ahora observe si ponemos x = a en la fórmula para g(x) obtenemos:

g(a) =$\int_{a}^{a} f(t) dt$= 0

Y finalmente

F(b)-F(a) = [g(b) + C] - [(a) + C] = g(b) - g(a) = g(b) - 0 =$\int_{a}^{b} f(t) dt$

espero que esto ayude