¿Cuál es el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC?

Para referencia: en un semicírculo de diámetro A C , un triángulo A B C está inscrito, los puntos son promedios unidos de A B ⌢ , y B C ⌢ con los vértices C y A que se cruzan en puntos mi y F con lados A B y B C respectivamente. luego dibujamos mi H y F GRAMO perpendicular a A C . Calcular el radio de la circunferencia inscrita en el triangulo A B C si H GRAMO = 4 metro .

Mi progreso:ingrese la descripción de la imagen aquí

Hice el dibujo de arriba (sin escala). Relaciones que encontré: △ A B C es un rectángulo. △ A j H ∼ △ A METRO I ∼ △ A F GRAMO Creo que faltan algunos datos...

esta es la imagen correctaingrese la descripción de la imagen aquí

"los puntos son promedios unidos de AB y BC con los vértices C y A que se cruzan en los puntos E y F con los lados AB y BC respectivamente" es difícilmente comprensible. De la figura deduzco que mi y F son los puntos medios de los arcos A B y B C , ¿bien?
@Intelligentipauca, por geogebra es correcta su afirmación..."E y F son los puntos medios de los arcos AB y BC"
Hice mal el diseño... lo estoy corrigiendo

Respuestas (2)

Si entiendo correctamente, mi está en el segmento A B ¯ y la línea C mi ↔ intersecta el arco A B ⌢ en el punto medio del arco; F está en el segmento B C ¯ y la línea A F ↔ intersecta el arco B C ⌢ en el punto medio del arco.

Por lo tanto C mi → es la bisectriz del angulo ∠ A C B y A F → es la bisectriz del angulo ∠ B A C . Por lo tanto C mi → y A F → se cruzan en D , el centro del círculo inscrito, como se muestra en tu figura.

Porque C mi → y A F → son bisectrices de ángulos, porque ∠ A B C es un ángulo recto, y porque mi H ¯ y F GRAMO ¯ son perpendiculares a A C ¯ , resulta que △ A B F ≅ △ A GRAMO F y △ C B mi ≅ △ C H mi .

Las relaciones de los segmentos. mi H ¯ y F GRAMO ¯ al círculo inscrito debería ser obvio (es decir, son exactamente como aparecen en su figura). Entonces la relación de la distancia GRAMO H al radio de la circunferencia inscrita se ve fácilmente.

Muy buena resolucion...gracias...Entonces el inraio es igual a H GRAMO 2 ? ¿Qué garantiza que EH y FG sean tangentes a la circunferencia?
Considerar △ A B F y △ A GRAMO F . No solo son congruentes, uno es la imagen especular del otro al otro lado de la línea. A F . El círculo inscrito es su propia imagen especular a través de la línea. A F , por lo que tiene la misma relación con △ A B F en cuanto a △ A GRAMO F . Alternativamente, podría dejar caer perpendiculares desde D a los segmentos B F y F GRAMO y demuestre que esto produce dos triángulos rectángulos congruentes más, cada uno de los cuales tiene un cateto que es un radio del círculo inscrito.

Dejar ∡ B A C = α .

De este modo,

A GRAMO = 2 R porque 2 ⁡ α 2
y
C mi = 2 R porque 2 ⁡ ( 45 ∘ − α 2 ) ,
lo que da
4 metro = H GRAMO = A GRAMO + C mi − A C = 2 R ( porque 2 ⁡ α 2 + porque 2 ⁡ ( 45 ∘ − α 2 ) − 1 ) =
= R ( porque ⁡ α + pecado ⁡ α ) = 1 2 r ( cuna ⁡ α 2 + cuna ⁡ ( 45 ∘ − α 2 ) ) ( porque ⁡ α + pecado ⁡ α ) =
= r pecado ⁡ 45 ∘ ( porque ⁡ α + pecado ⁡ α ) 2 pecado ⁡ α 2 pecado ⁡ ( 45 ∘ − α 2 ) = r ( porque ⁡ α + pecado ⁡ α ) 2 ( porque ⁡ ( 45 ∘ − α ) − porque ⁡ 45 ∘ ) = r ( porque ⁡ α + pecado ⁡ α ) porque ⁡ α + pecado ⁡ α − 1
y vemos que algo faltó en lo dado.

también tenemos

4 metro = 1 2 ( A B + B C ) = 1 2 ( A B + B C − A C ) + 1 2 A C = r + R .

la imagen no era correcta... la publiqué corregida
¿Cuál es el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC?
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