Una pregunta sobre quarks y cromodinámica cuántica

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Una pregunta sobre quarks y cromodinámica cuántica

quarks
Física
fermiones
función de onda
cromodinámica-cuántica
principio de exclusión de Pauli

ryan hendricks

Penrose escribe lo siguiente en la página 648 de su libro "Road to Reality"

¿Cómo podemos tratar a los quarks como partículas reales, si tienen una relación estadística de espín incorrecta? La forma en que se trata este problema, en el modelo estándar, es exigir que cada sabor de quark también venga en tres (así llamados) colores, y que cualquier partícula real, compuesta de quarks, debe ser completamente antisimétrica en el grado de libertad del color. Esta antisimetría pasa a los propios estados de quarks, de modo que la antisimetría entre quarks fermiónicos individuales se convierte efectivamente en simetría, en una partícula de tres quarks .

no entiendo esto Tomemos una partícula con espín $\frac{3}{2}$ , compuesto por tres quarks "arriba". Así que podemos escribir esto como $uuu$ . Ahora como cada quark viene en un color diferente, asumiendo que estos colores son rojo (R), azul (B) y verde (G), podemos escribir la partícula como $u_R u_B u_G$ . Sin embargo, ¿no debería ser esto simétrico en los colores? ¿No debería ser esto igual a $u_G u_B u_R$ , donde he permutado los colores?

Sin embargo, como esto es antisimétrico en colores, deberíamos tener $u_Ru_B u_G=-u_G u_B u_R$ . Pero esto claramente no sucede. ¿Dónde me estoy equivocando?

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anomalía quiral · Answer 1

Dejar $|0\rangle$ sea el estado de vacío, y sea $q_C(f)$ denota el operador que, cuando se aplica a cualquier estado, agrega otro quark con color $C$ y "función de onda espacial" $f$ . La afirmación de que los quarks son fermiones significa que estos operadores se anticonmutan entre sí.

Ahora considere el estado de tres quarks

\begin{matrix} (1) & | F, gramo, h ⟩ := \sum_{π} (- 1)^{π} q_{π (R)} (F) q_{π (GRAMO)} (gramo) q_{π (B)} (h) | 0 ⟩, \end{matrix}

$|f,g,h\rangle := \sum_{\pi}(-1)^\pi q_{\pi(R)}(f)q_{\pi(G)}(g)q_{\pi(B)}(h)|0\rangle, \tag{1}$ donde la suma es sobre todas las permutaciones

π

$\pi$ de los índices de color, con signo negativo para permutaciones impares. Esta suma antisimetrizada sobre permutaciones hace que el estado sea un singlete de color, asumiendo que el grupo de color es

S U (3)

$SU(3)$ . Los índices de espín se omiten porque asumimos que todos son iguales, por lo que el espín total es

3 / 2

$3/2$ . Se supone que los tres quarks tienen el mismo sabor.

El hecho de que los operadores de creación de quarks $q_C(f)$ anticonmutan entre sí (porque los quarks son fermiones) implica que el estado $|f,g,h\rangle$ es simétrica con respecto a las permutaciones de $f,g,h$ , como en

\begin{matrix} (2) & | gramo, F, h ⟩ = | F, gramo, h ⟩ . \end{matrix}

$|g,f,h\rangle = |f,g,h\rangle. \tag{2}$ En detalle:

\begin{aligned} | gramo, F, h ⟩ & := \sum_{π} (- 1)^{π} q_{π (R)} (gramo) q_{π (GRAMO)} (F) q_{π (B)} (h) | 0 ⟩ \\ = - \sum_{π} (- 1)^{π} q_{π (GRAMO)} (F) q_{π (R)} (gramo) q_{π (B)} (h) | 0 ⟩ \\ = \sum_{π} (- 1)^{π} q_{π (R)} (F) q_{π (GRAMO)} (gramo) q_{π (B)} (h) | 0 ⟩ \\ (3) & =: | F, gramo, h ⟩ . \end{aligned}

$\begin{align} |g,f,h\rangle &:= \sum_{\pi}(-1)^\pi q_{\pi(R)}(g)q_{\pi(G)}(f)q_{\pi(B)}(h)|0\rangle \\ &= -\sum_{\pi}(-1)^\pi q_{\pi(G)}(f)q_{\pi(R)}(g)q_{\pi(B)}(h)|0\rangle \\ &= \sum_{\pi}(-1)^\pi q_{\pi(R)}(f)q_{\pi(G)}(g)q_{\pi(B)}(h)|0\rangle \\ &=: |f,g,h\rangle. \tag{3} \end{align}$ Narración:

El signo negativo general en la segunda línea proviene de cambiar el orden de los operadores $q_{\pi(R)}(g)$ y $q_{\pi(G)}(f)$ . Este cambio de signo expresa el hecho de que los quarks son fermiones.
El signo negativo general desaparece en la tercera línea porque permutamos los índices de color. $G$ y $R$ . Este cambio de signo expresa el hecho de que el estado es un singlete de color (invariante bajo un color- $SU(3)$ transformación).

La conclusión es que el estado $|f,g,h\rangle$ es de color antisimétrico pero espacialmente simétrico, como se afirma en el extracto que se muestra en el OP.

Calificaciones:

Para ser conciso, usé las palabras "función de onda espacial". Eso es ambiguo, pero quiero decir exactamente que no es importante aquí. La idea general es suficiente.
La imagen de "quark de valencia" utilizada aquí es lo suficientemente buena para abordar la pregunta, pero tenga en cuenta que $|f,g,h\rangle$ no es realmente un estado de un solo barión. Los bariones reales también involucran gluones, y en realidad involucran un número indefinido de quarks/antiquarks.

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ryan hendricks

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