¿Por qué la exclusión de Pauli en lugar de la cancelación de electrones?

It seems that getting two electrons too close should annihilate both of them.

Tu suposición es incorrecta. Sólo la antimateria cancela la materia. En el caso de Electron, solo un Positron puede cancelarlo. Eso sí, dos electrones se repelen entre sí debido a cargas idénticas (en el sentido clásico).

En sentido estricto, no deberías hablar de distancia. Para compartir el mismo estado cuántico, los electrones deben ser diferentes en cualquier atributo. Es por eso que los electrones que tienen diferentes espines pueden compartir el mismo estado cuántico.

Poner dos fermiones en el mismo estado no hace que los dos fermiones se cancelen y desaparezcan; hace que todo el universo se cancele y desaparezca. O, de manera más prosaica pero precisa, un estado con dos fermiones en el mismo estado de una sola partícula simplemente no es un estado válido en el espacio fermiónico de Hilbert. El punto es que la maldad no solo está aislada de los dos fermiones en sí mismos, sino que corrompe incurablemente todo el sistema. Los fermiones son bestias extrañas, solo semilocales.

Sin embargo, hay partículas que se comportan exactamente de la manera que estás describiendo: poner dos de ellas en el mismo estado hace que se cancelen entre sí, pero deja el resto del sistema completamente ileso. Son engañosamente llamados "fermiones de Majorana" en la comunidad de materia condensada, aunque este nombre es extremadamente desafortunado, porque (a) en realidad no son fermiones, sino más bien "anyones", y (b) no son lo mismo tipo de partícula a la que los físicos de alta energía se refieren como "fermiones de Majorana", que en realidad son fermiones.

Feynman en múltiples escritos sugirió pensar en "intercambiar partículas" en términos de intercambiarlas a medida que se mueven a través del tiempo. Es decir, pueden moverse en dos caminos paralelos a medida que avanzan, o pueden cruzarse (intercambiar roles).

La cancelación antisimétrica se aplica al último, pero no al primero. Ahora, si lo piensa bien, significa que el camino paralelo sigue siendo fuerte incluso cuando los caminos cruzados se cancelan, lo que da como resultado que las dos partículas se eviten entre sí y mantengan caminos únicos (funciones de onda). El resultado neto no es una cancelación total, sino una cancelación en los bordes, donde se cruzarían las partículas. (Feynman entra en muchos más detalles sobre las rotaciones, pero, francamente, esa parte puede desviarlo un poco; es la parte "anti-cruce" la que cuenta en términos de resultados reales).

Otra consecuencia de que los fermiones idénticos se anulen entre sí es que empaquetar más fermiones en un espacio reducido obliga a que sus longitudes de onda que llenan el espacio también se acorten. Dado que en la mecánica cuántica la longitud de onda espacial de una partícula define su momento, las partículas que se comprimen de esta manera también se calientan mucho, mucho.

Una estrella de neutrones es un buen ejemplo. La exclusión de Pauli, la "constricción del espacio porque el cruce se cancela pero el paralelo no", permite que los neutrones se empaqueten muy densamente.

Sin embargo, hay límites. Cuando la gravedad se vuelve demasiado monumental, incluso la exclusión de Pauli es incapaz de seguir el ritmo, y toda la estrella colapsa muy rápidamente. Así nace un agujero negro de tamaño estelar, o al menos este es un ejemplo de cómo se puede formar uno.