¿Cuál es el hamiltoniano en la "base de energía" de un oscilador armónico simple?

...¿cómo es esta la base de la "energía"? ¿Y eso que significa?

Cualquiera de nuestros operadores observables en su propia base propia es diagonal, donde las entradas de la diagonal son los valores propios.$^*$

Podemos ver que esto es cierto. Dejar$|\psi_i\rangle$Sea el vector propio tal que$H|\psi_i\rangle=E_i|\psi\rangle$. Entonces el hamiltoniano en su propia base es:

Como los vectores propios son ortonormales:

Lo que significa que el hamiltoniano es diagonal en su propia base propia.

Observe cómo esto no depende de lo que$H$en realidad es. Si quieres trabajar con tu ejemplo específico (te dejo el trabajo a ti):

Por lo tanto, la expresión que proporcione debe ser el hamiltoniano es su propia base propia.

$^*$Al tratar a nuestros operadores como matrices, en general, un operador en alguna base nos da la siguiente información. Cada columna del operador nos dice cómo se transforma el vector base correspondiente al multiplicar por ese operador. Por lo tanto, tiene sentido que un operador en su propia base propia sea diagonal, porque los vectores propios son los vectores base, y la transformación resultante de cada vector base corresponde simplemente a multiplicarlos por el valor propio correspondiente.

Es la base de la energía porque los estados propios de$\hat H$son el número de partículas excitadas en un estado dado. El primer término de la ecuación también se conoce como$n$y representa el número total de partículas en el estado n.

Entonces,$\hat H |n\rangle = \hbar\omega\left(\hat a^\dagger\hat a+\frac12\right) |n\rangle = \hbar\omega \left(n+\frac12\right) |n\rangle$

Esta es una buena pregunta, porque lo que está pasando aquí es un uso impreciso de la terminología. Si desea una terminología estricta, entonces, de hecho, cuando escribimos un operador como$\hat{a}^\dagger \hat{a}$no hemos adoptado ninguna base en particular sino que simplemente hemos anotado el operador. El uso correcto de la frase "en la base de energía" significaría escribir los elementos de la matriz$\langle E_n | \hat{H} | E_m\rangle$. Entonces tendrías una matriz que representa el hamiltoniano en la base$\{ | E_n \rangle \}$. La terminología vaga aquí llama nuestra atención sobre el hecho de que mediante la manipulación de los operadores de subida y bajada es posible averiguar muchas cosas que nos gustaría saber, como los niveles de energía y el efecto de otros operadores en los estados propios de energía, sin necesidad de descubra cómo los estados propios de energía se pueden escribir en términos de posición o alguna otra cantidad como el momento.