¿Tienen sentido los estados con energía media infinita?

Si adopta la perspectiva frecuentista , el hecho de que$\langle E\rangle$no existe simplemente significa que si mides las energías de$N$sistemas preparados idénticamente y promediar los resultados, entonces ese número no se acerca a un límite bien definido como$N\rightarrow \infty$.

Si el espectro del hamiltoniano no está acotado (como sucede muy a menudo), entonces tales estados deben existir en el espacio de Hilbert, por lo que ciertamente aparecen matemáticamente . Personalmente, tampoco encuentro nada necesariamente no físico en ellos;$\langle E\rangle \rightarrow \infty$no significa que cualquier medición devuelva infinito como resultado, sino que aumentar el número de mediciones tiende a aumentar la energía promedio.

Por ejemplo, considere una partícula en una caja de longitud$a$con función de onda$\psi(x) = 1/\sqrt{a}$. Esto corresponde a que la posición de la partícula es completamente desconocida (aparte del hecho de que está en la caja). si calculas$\langle E\rangle$en este estado, encontrarás que diverge hasta el infinito. La partícula en una caja es, por supuesto, una idealización matemática, pero también lo es cada modelo que usamos en última instancia, y dado que este es muy plausiblemente un modelo útil, no estoy tan dispuesto a descartarlo.

Su ejemplo es más engañoso de lo que parece ya que [$\psi$no satisface las condiciones de contorno asociadas con el dominio de$H$]

@ZeroTheHero plantea un punto excelente.$H$(cuyo dominio es dos funciones débilmente diferenciables con condiciones de contorno de Dirchlet) es autoadjunto (como deben ser todos los hamiltonianos), pero es correcto que el$\psi$Lo que he anotado no está en su dominio. En este sentido, no podemos escribir$\langle E\rangle = \langle \psi,H\psi\rangle$¡Simplemente porque el lado derecho es ilegal!

Esto no significa necesariamente que$\langle E \rangle$no está definido, pero debería hacernos sospechar. Lo correcto es expandir$\psi$en términos de los vectores propios normalizados de$H$:

$$\psi = \sum_n c_n \phi_n \qquad H\phi_n = E_n\phi_n$$ que siempre se puede hacer debido a la autoadjunción de$H$. Entonces definimos$\langle E\rangle := \sum_n E_n |c_n|^2$. Es fácil ver que esto coincide con$\langle \psi,H\psi\rangle$cuando$\psi\in\mathrm{dom}(H)$, pero de hecho es un poco más general, y es este cálculo el que diverge hasta el infinito. De hecho, si calculamos ingenuamente$\langle \psi,H\psi\rangle$al diferenciar$\psi$dos veces, obtenemos cero.

El valor esperado infinito para la energía surge debido al hecho de que el potencial armónico se extiende hasta el infinito. Como resultado, uno puede seguir subiendo en la escala de estados indefinidamente. Prácticamente, un potencial tan infinitamente alto no puede existir. Después de un cierto nivel de energía, no habrá ningún estado límite y solo quedarán estados de dispersión.

Entonces no hay contradicción y tal comportamiento poco intuitivo es una consecuencia de la naturaleza no física del potencial. Algo similar sucede con el pozo de potencial infinito donde la primera derivada de la función de onda es discontinua. Nuevamente, teóricamente no hay contradicción, pero es físicamente irrealizable.

Interpretar$\langle E \rangle = \infty$hay que distinguir entre los valores posibles , el valor esperado y el valor más probable de la energía.

Todos los valores propios$\{1,2,3,\dots\} =\mathbb N$del hamiltoniano son energías posibles para el estado que sugieres (con eso$m=1$por supuesto). Cada energía propia individual es un número finito , pero no hay energía más alta, el espectro es ilimitado desde arriba.

Este estado, sin embargo, tiene la energía más baja como la más probable, y la probabilidad disminuye al aumentar la energía.

$$(p_1,p_2,p_3,\dots) = \frac{1}{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}} \left(\frac{1}{1^2}, \frac{1}{2^2},\frac{1}{3^2},\dots \right)$$ Entonces, las energías más bajas son las que se obtienen todos los días al medir la energía en ese estado.

Ahora bien, para la expectativa (o valor promedio) no es (en general) necesariamente un valor posible ni el más probable. Además, la distribución para este estado tiene un valor medio indefinidamente grande (con$E_n = n$)

$$\langle E\rangle = \sum_{n=1}^\infty p_n E_n = \frac{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}}{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}} = \infty,$$ pero lo que obtienes con la medición es siempre un número finito en el espectro. Todavía es posible, (al menos en teoría), por casualidad, medir la energía tan alta que desee, siempre que siga midiendo partículas en ese estado para siempre , ya que es poco probable que obtenga esas energías bajas todos los días.