¿Qué es exactamente un estado propio de energía?

Question

¿Qué es exactamente un estado propio de energía?

Urraca

Digamos que tienes estados propios de energía

\begin{aligned} \begin{aligned} | + ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} | 1 ⟩ + \frac{1}{\sqrt{2}} | 2 ⟩ \end{aligned} \end{aligned}

$\begin{align} \begin{split} |+\rangle= \frac{1}{\sqrt{2}}|1{\rangle}+\frac{1}{\sqrt{2}}|2 \rangle \end{split} \end{align}$

\begin{aligned} \begin{aligned} | - ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} | 1 ⟩ - \frac{1}{\sqrt{2}} | 2 ⟩ \end{aligned} \end{aligned}

$\begin{align} \begin{split} |-\rangle= \frac{1}{\sqrt{2}}|1{\rangle}-\frac{1}{\sqrt{2}}|2 \rangle \end{split} \end{align}$

con

\begin{aligned} \begin{aligned} | ψ (0) ⟩ = α_{+} | + ⟩ + α_{-} | - ⟩ \end{aligned} \end{aligned}

$\begin{align} \begin{split} |\psi(0)\rangle= \alpha{_+}|+{\rangle}+\alpha{_-}|- \rangle \end{split} \end{align}$

y

\begin{aligned} \begin{aligned} α_{+} = ⟨ + | ψ (0) ⟩ \end{aligned} \end{aligned}

$\begin{align} \begin{split} \alpha{_{+}} = {\langle} + | {\psi{(0)}} {\rangle} \end{split} \end{align}$

\begin{aligned} \begin{aligned} α_{-} = ⟨ - | ψ (0) ⟩ \end{aligned} \end{aligned}

$\begin{align} \begin{split} \alpha{_{-}} = {\langle} - | {\psi{(0)}} {\rangle} \end{split} \end{align}$

Sé que puedes encontrar los coeficientes $\alpha_+$ y $\alpha_-$ si usted tiene $|\psi(0)\rangle$ ya, pero estoy luchando conceptualmente con lo que esto significa en relación con el principio de incertidumbre de Heisenberg y la resolución de problemas para este tipo de cosas en general.

Tampoco estoy seguro de cómo encuentras los estados propios. Aunque sé matemáticamente cómo obtener los valores propios y los vectores propios de una matriz.

Respuestas (1)

¿Qué es exactamente un estado propio de energía?

david z · Answer 1

Un estado propio de energía es solo un estado propio del hamiltoniano. Entonces, dado un operador hamiltoniano particular $H$ , los estados propios de energía $\lvert n\rangle$ satisfacer

H | norte ⟩ = {mi}_{norte} | norte ⟩

$H\lvert n\rangle = E_n\lvert n\rangle$

dónde $E_n$ es solo un numero

La razón por la que los estados propios de energía son útiles es que, de acuerdo con la ecuación de Schroedinger, permanecen sin cambios (excepto por un factor de fase) a lo largo del tiempo. Suponer $\lvert\psi(0)\rangle$ es el estado inicial de algún sistema con un hamiltoniano $H$ . Si $\lvert\psi(0)\rangle$ es el $n$ el estado propio de $H$ , es decir, si $\lvert\psi(0)\rangle = \lvert n\rangle$ , el estado del sistema en un momento posterior $t$ será

| ψ (t) ⟩ = {mi}^{i {mi}_{norte} t} | norte ⟩ = {mi}^{i {mi}_{norte} t} | ψ (0) ⟩

$\lvert\psi(t)\rangle = e^{iE_nt}\lvert n\rangle = e^{iE_nt}\lvert \psi(0)\rangle$

Y dado que la ecuación de Schroedinger es lineal, si el estado inicial es una combinación lineal de estados propios de energía, $\lvert\psi(0)\rangle = \sum_n \alpha_n\lvert n\rangle$ , lo mismo vale para cada uno de los estados propios de la suma. Esencialmente, puede distribuir la evolución del tiempo sobre la suma. En consecuencia, esto le permite escribir fácilmente una expresión para el estado del sistema en el momento $t$ :

| ψ (t) ⟩ = \sum_{norte} α_{norte} {mi}^{i {mi}_{norte} t} | norte ⟩

$\lvert\psi(t)\rangle = \sum_n\alpha_n e^{iE_nt}\lvert n\rangle$

Entonces, si puede expresar el estado inicial como una suma de coeficientes por los estados propios de energía, es bastante trivial expresar el estado en cualquier momento posterior. Ahí es donde entran los productos internos. Suele ocurrir que los estados propios de $H$ formar una base ortonormal completa, y cuando tiene una base ortonormal, la forma de descomponer un estado arbitrario en esa base es tomando productos internos, $\alpha_n = \langle n\vert\phi(0)\rangle$ .

Nada de esto tiene nada que ver con el principio de incertidumbre.

¿Qué sucede si no tiene un operador hamiltoniano en particular? Entonces, ¿cómo puedes identificar los estados propios de energía? ¿Es suficiente que conozca la probabilidad de la energía en ese estado? Creo que puede ser por lo que has escrito, pero no estoy seguro.
no puedes "Estado propio de energía" simplemente significa "estado propio del hamiltoniano". Entonces, no existe un estado propio de energía sin un hamiltoniano, al igual que no existe un vector propio sin una matriz.
si pero acabas de decir $H | norte ⟩ = {mi}_{norte} | norte ⟩$ $H\lvert n\rangle = E_n\lvert n\rangle$ ¿Qué pasa con el lado derecho entonces? ¿Seguramente esta es solo la probabilidad de estar en un estado de energía n?
No. Eso es un estado cuántico, no una probabilidad. El lado derecho de esa ecuación no representa nada en particular.
Depende, ¿de qué parte? En muchos casos se le daría el hamiltoniano. (Por cierto, debo aclarar mi primer comentario: no digo que necesariamente tengas que saber cuál es el hamiltoniano para identificar los estados propios de energía, pero tiene que haber un hamiltoniano).
oh, bueno, eso ayuda. Si tienes los valores propios de la energía $P_n(E_n)$ y $/psi(0)$ , es eso suficiente para resolverlo? El RHS parece $E_n$ un valor propio

¿Qué es exactamente un estado propio de energía?

Urraca

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