Estoy luchando por entender de dónde viene el problema (es decir, la imposibilidad de salir) en el radio de Schwarzschild, resolviendo la ecuación de movimiento de una partícula masiva en una geodésica radial$\sigma$. Breve comentario sobre la estructura causal al final de la pregunta.

Ecuación de movimiento

La normalización de 4 velocidades usando el tiempo adecuado da

$$g(\dot{\sigma}, \dot{\sigma}) = -c^2 = - \left( 1-\frac{R_s}{r} \right) c^2 \dot{t}^2 + \left( 1-\frac{R_s}{r} \right)^{-1}\dot{r}^2$$

El vector de matar$\partial_t$proporciona la constante de movimiento$g(\dot{\sigma},\partial_t)$, entonces

$$e := \left( 1-\frac{R_s}{r} \right) \dot{t} = \text{const}$$

Combinando los dos obtenemos una ecuación de aspecto newtoniano

$$\dot{r}^2 - \frac{2GM}{r}=e^2c^2-c^2 =: \epsilon = \text{const}$$ Siguiendo estas notas de clase (ecuación 31.4), la ecuación se resuelve para el caso$\epsilon =0$, que da una ley de potencia simple$\tau \propto \pm r^{3/2}$. Los signos menos nos dicen que nada extraño le sucede a un observador que cae hacia el centro cuando cruza el radio de Schwarzschild; la solución$t(r)$, por otro lado, explota en$R_s$, por lo que un observador externo nunca ve el cruce. La pregunta es: ¿por qué no se puede usar este argumento al revés? De$\tau \propto +r^{3/2}$la salida parece tan suave como la entrada. Traté de trazar una solución para la integral general, sin la suposición$\epsilon = 0$, pero parece analíticamente más complicado pero conceptualmente igual.

Estructura causal

Entiendo (más o menos) que el escenario correcto para esta pregunta es la estructura causal del espacio-tiempo, algo así como ( de esta pregunta )

En coordenadas de Schwarzschild, si miras el$g_{tt}$y$g_{rr}$partes de la métrica, voltean signos en$r=R_s$. Por lo tanto, "dentro" de la$r$la dirección es temporal y la$t$la dirección es espacial. El cono de luz de tiempo futuro de cualquier evento dentro del horizonte apunta hacia valores más pequeños de$r$.

Entonces me gustaría ambos:

1. para entender si el enfoque de "ecuación de movimiento" es significativo, y
2. para comprender completamente el contenido de la respuesta citada.

$\partial_t$es temporal por fuera y espacial por dentro,$\partial_r$todo lo contrario, bien hasta ahora. ¿Cuál es la consecuencia física o geométrica de esto? ¿Qué implica que una dirección sea algo así?

Esta respuesta se trata de "inclinación de conos de luz", pero ¿no es esta una declaración dependiente del marco?

Editar: creo que este es el núcleo de la pregunta, hablando de causalidad: ¿cómo se define el "futuro", con respecto a las direcciones temporales y espaciales? ¿Por qué el futuro (F) está "a la izquierda" en esta imagen?

Hay algunas preguntas en la última parte que me doy cuenta de que todas se reducen al mismo concepto: ¿ qué significa que el "tiempo" y el "espacio" intercambien roles?