Al entrar en un agujero negro, ¿importa en absoluto el ángulo de incidencia?

Tu foto está mal, no hay un cambio brusco en el ángulo. Una partícula que se acerque al agujero negro con un ángulo tendrá una trayectoria como esta (la simulación se realizó en las coordenadas de Kerr Schild, pero se ve igual en las coordenadas de Raindrop y Droste):

r solo puede disminuir, pero eso no significa que el movimiento tenga que ser puramente radial. El momento angular se conserva.

Tu imagen es incorrecta porque muestra el agujero negro como un círculo con la singularidad como un punto en el centro. La singularidad es una superficie espacial que se encuentra en el futuro de cada observador. Consulte ¿La singularidad de un agujero negro es un solo punto? .

El concepto ingenuo de trayectoria no tiene mucho sentido en el interior de un agujero negro, porque el interior no es estático. Por esta razón, no podemos definir cosas como distancias adecuadas en el interior. Consulte ¿Cuál es la distancia adecuada desde el horizonte de eventos hasta la singularidad? . Si no puede definir distancias, claramente no puede definir una trayectoria.

Ciertamente, puede elegir un gráfico de coordenadas que se comporte bien (es decir, no las coordenadas de Schwarzschild) y trazar gráficos en ellos, pero eso no le muestra una trayectoria en el sentido de una forma geométrica en el plano euclidiano. Por ejemplo, si tiene una coordenada similar al tiempo y tres coordenadas similares al espacio, entonces, según el movimiento y la elección de las coordenadas, el gráfico del movimiento de una partícula que cae podría ser simplemente un punto cuando proyecta la coordenada del tiempo. Es decir, las coordenadas espaciales podrían ser todas constantes. Sí, el gráfico dependerá del ángulo del objeto que cae.

¿Qué camino seguirá el objeto (masivo o sin masa) para entrar en el EH?

Una muy buena pregunta. La intuición puede ser engañosa aquí.

Cualquier objeto cruza el horizonte de sucesos en una trayectoria casi radial.

Imagina que estás sentado en un cohete y sientes una aceleración muy alta. Si lanza algo horizontalmente, la cosa se caerá y golpeará el suelo casi verticalmente.

Por la misma razón, un observador muy cerca del horizonte (que necesita un tremendo empuje del cohete para mantener una posición estacionaria) verá un objeto que cae cruzando el horizonte casi verticalmente (es decir, casi radialmente). Así que las imágenes no son correctas.

¿Cómo se ve eso en las coordenadas de Schwarzschild? Con base en las Notas de Carroll (Capítulo 7) se obtiene:

Configuración$r$=$R_S$rendimientos$\cos\psi=1$. Sin embargo, esto no puede entenderse como una predicción de la fórmula anterior debido a la singularidad de las coordenadas en el horizonte. Entonces, la trayectoria en el horizonte es casi, pero no exactamente, radial.

La métrica de Schwarzschild no es aplicable con respecto al movimiento dentro del horizonte. Aquí uno puede usar la métrica Rain Frame sin infinitos en$r = R_S$, que está dada por

$d\tau^2=(1-2M/r)dt^2-2(2M/r)dtdr-dr^2-dr^2-r^2d\psi^2$y que produce el movimiento de una gota de lluvia dentro del horizonte (un poco complicado, busca en la web).

Las geodésicas similares a la luz que caen también se doblarán hacia radial, pero presumiblemente en menor medida.

¿Cuál será la trayectoria de un objeto (masivo o sin masa) moviéndose hacia la singularidad, tiene que seguir el camino más corto (geodésico)?

Parece que hay confusión sobre lo que significa "geodésico" . En general, una geodésica es un camino que minimiza o maximiza una cantidad específica$^1$. Por ejemplo, el principio de Fermat establece que la luz se mueve de un punto a otro de tal forma que el tiempo necesario es mínimo.

De manera similar, la relatividad general se puede expresar en términos de geodésicas , ¡pero debe tener cuidado con las geodésicas que debe usar!

Tomemos por ejemplo un punto$A$en la superficie de la tierra y un punto$B$un metro por debajo de ella. Entonces el camino más corto que los une es una línea recta, es decir, una línea en euclidiana.$^2$espacio.

Ahora considere un cuerpo en caída libre que comienza en$t=0$en$A$y termina 1 segundo más tarde en$B$, es decir, buscamos un camino que conecte$(A,t=0)$con$(B,t=1)$que es la trayectoria tomada por el objeto en caída libre. Este camino ya no está en el familiar 3-espacio, está en algún espacio matemático, espacio-tiempo para abreviar, y se caracteriza por la maximización del tiempo propio a lo largo del camino : para todos los observadores que se mueven desde$(A,0)$a$(B,1)$, el observador que termina con la máxima lectura de reloj en su reloj es el que está en caída libre. Y este movimiento no es a lo largo de una línea recta en el espacio tridimensional: el tiempo pasa más lento debido a la gravedad (más cerca de la tierra en este caso), por lo tanto, el objeto puede acelerar su reloj moviéndose hacia arriba. Sin embargo, cuando se mueve (hacia arriba) la dilatación del tiempo también juega un papel, y el mejor compromiso para maximizar el tiempo adecuado es la conocida parábola de caída libre de la mecánica clásica.

$^1$La definición matemática es más sofisticada.

$^2$En la Relatividad General, el espacio tridimensional ya no es euclidiano en general, pero para todos los propósitos prácticos, el espacio puede considerarse euclidiano (plano) alrededor de la tierra o dentro de la tierra.