¿Por qué el radio de Schwarzschild es el radio de un horizonte de eventos?

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¿Por qué el radio de Schwarzschild es el radio de un horizonte de eventos?

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He estado buscando en la web y muchas referencias sin mucho éxito. Mi pregunta es ¿cómo sabemos que, en la solución del agujero negro de Schwarzschild , la superficie con coordenadas $r=2M$ (en el sistema de unidades geométricas) define un horizonte de sucesos, en el sentido de que toda curva temporal o nula que atraviese esa superficie -hacia el interior- terminará en la singularidad en $r=0$ ?

Respuestas (4)

¿Por qué el radio de Schwarzschild es el radio de un horizonte de eventos?

jerry schirmer · Answer 1

Recuerde que la definición de un horizonte de eventos es "el límite pasado del infinito futuro nulo". Lo que esto significa, en lenguaje común, es tomar todos los rayos de luz que escapan al infinito. Luego, encuentre el que apenas logra regresar al infinito. La superficie formada por estos rayos de luz es el horizonte de sucesos.

Ahora, mire el diagrama de Kruskal del espacio-tiempo de Schwarzschild (este es el espacio-tiempo de Schwarzschild escrito en coordenadas que no son singulares en el horizonte).

Las líneas diagonales negras sólidas que se cruzan en el medio corresponden a $r = 2M$ . Obviamente son las asíntotas de las curvas en la parte superior e inferior que representan $r=0$ , entonces $r=2M$ es el horizonte de eventos del espacio-tiempo de Schwarzschild. (bueno, técnicamente, el triángulo superior formado por el $r=2M$ superficies es el horizonte de eventos "futuro" del espacio-tiempo, y el triángulo inferior es el horizonte de eventos "pasado" del agujero blanco, pero probablemente no le importe esa pedantería).

Además, para la segunda parte de su respuesta, tenga en cuenta que este sistema de coordenadas se define de tal manera que las futuras líneas nulas que apuntan siempre apuntan en 45 ${}^{\circ}$ a la izquierda o a la derecha de la vertical, lo que significa que las líneas temporales siempre están obligadas a formar un ángulo menor con la vertical. A partir de esto, debería ser obvio que una vez que estás dentro del horizonte, necesitas ser como un espacio para salir del interior del horizonte.
Alemán. El enlace original al diagrama anterior se movió, por lo que agregué uno nuevo (aunque esta vez la imagen también está incrustada en su respuesta).

usuario4552 · Answer 2

En coordenadas de Schwarzschild, si miras el $g_{tt}$ y $g_{rr}$ partes de la métrica, voltean signos en $r=2M$ . Por lo tanto para $r<2M$ el $r$ la dirección es temporal y la $t$ la dirección es espacial. El cono de luz de tiempo futuro de cualquier evento dentro del horizonte apunta hacia valores más pequeños de $r$ .

En coordenadas de Schwarzschild, $r=2M$ es una singularidad coordinada, no el horizonte de sucesos. No hay geodésicas que la crucen, y no está muy claro que la región interior tenga algo que ver con la región exterior.
@benrg: las coordenadas explotan, pero tiene un tiempo de viaje finito hacia el horizonte, medido en el tiempo adecuado (simplemente no medido en tiempo de coordenadas): academic.reed.edu/physics/courses/Physics411/html/411/ página 2/…
@JerrySchirmer, lo sé, pero como explicación intuitiva, esto realmente no funciona. Tendría más sentido en las coordenadas de Eddington-Finkelstein. Incluso entonces, no está claro cómo mostrar el tiempo de viaje finito, pero la pregunta no lo solicitó.
@benrg: la pregunta dice "sistema de coordenadas geométricas", lo que nos da una pregunta interesante sobre si se refieren a las coordenadas de Schwarzschild o Kruskal. Definitivamente estoy más feliz respondiendo esta pregunta en coordenadas Kruskal, ciertamente, ya que la respuesta es obvia en ellas.

alfredo centauro · Answer 3

Intentaré una respuesta desde una perspectiva diferente al resto.

La solución de Schwarzschild es la solución de vacío para un espacio-tiempo estático , esféricamente simétrico.

Las coordenadas de Schwarzschild son "agradables" para la solución por al menos dos razones:

(1) el elemento de línea lejos del origen espacial, en estas coordenadas, se acerca al elemento de línea del espacio-tiempo plano en coordenadas esféricas

(2) el área de superficie de una esfera en coordenadas radiales $r$ es $4\pi r^2$

Sin embargo, resulta que las coordenadas no cubren todo el espacio-tiempo ya que el requisito de que el espacio-tiempo sea estático no puede satisfacerse para todo el espacio-tiempo.

Esta es esencialmente la razón por la que hay una singularidad coordinada en $r = 2M$ , el límite entre la región exterior, donde la geometría es estática, y la región interior donde la geometría es dinámica.

Hay una transformación de coordenadas de Schwarzschild. $r, t$ coordenadas a Kruskal-Szekeres $U, V$ coordenadas de la siguiente manera:

Para la región exterior,

V = {(\frac{r}{2 METRO} - 1)}^{1 / 2} {mi}^{r / 4 METRO} pecado (\frac{t}{4 METRO})

$V = \left(\frac{r}{2M} - 1\right)^{1/2}e^{r/4M}\sinh\left(\frac{t}{4M}\right)$

tu = {(\frac{r}{2 METRO} - 1)}^{1 / 2} {mi}^{r / 4 METRO} aporrear (\frac{t}{4 METRO})

$U = \left(\frac{r}{2M} - 1\right)^{1/2}e^{r/4M}\cosh\left(\frac{t}{4M}\right)$

y, para la región interior,

V = {(1 - \frac{r}{2 METRO})}^{1 / 2} {mi}^{r / 4 METRO} aporrear (\frac{t}{4 METRO})

$V = \left(1 - \frac{r}{2M}\right)^{1/2}e^{r/4M}\cosh\left(\frac{t}{4M}\right)$

tu = {(1 - \frac{r}{2 METRO})}^{1 / 2} {mi}^{r / 4 METRO} pecado (\frac{t}{4 METRO})

$U = \left(1 - \frac{r}{2M}\right)^{1/2}e^{r/4M}\sinh\left(\frac{t}{4M}\right)$

En estas coordenadas, el elemento de línea es

d s^{2} = \frac{32 {METRO}^{3}}{r} {mi}^{- r / 2 METRO} (- d V^{2} + d {tu}^{2})

$ds^{2} = \frac{32M^3}{r}e^{-r/2M}(-dV^2 + dU^2)$

dónde $r$ se define implícitamente por

V^{2} - {tu}^{2} = (1 - \frac{r}{2 METRO}) {mi}^{r / 2 METRO}

$V^2 - U^2 = \left(1-\frac{r}{2M}\right)e^{r/2M}$

Por lo tanto, en estas coordenadas, no hay singularidad de coordenadas en $r=2M$ . De hecho, tenemos

{tu}^{2} = V^{2}

$U^2 = V^2$

para

r = 2 METRO

$r = 2M$

Pero, a partir del elemento de línea, vemos que cuando

d tu = \pm d V

$dU = \pm dV$

el intervalo es nulo (como la luz), por lo tanto, las líneas del mundo con $U^2 = V^2$ son como luz; la superficie $r=2M$ es una superficie nula, es decir, se encuentra sobre un cono de luz. Sólo las entidades sin masa pueden permanecer en $r=2M$ .

Existe una verdadera singularidad espaciotemporal para $r=0$ . En el $U,V$ diagrama, $r=0$ corresponde a la hipérbola

V^{2} - {tu}^{2} = 1

$V^2 - U^2 = 1$

Las asíntotas son las $r=2M$ cono de luz. Inmediatamente se sigue que la singularidad está en el futuro de cualquier línea de mundo en la región interior.

A continuación se muestra una imagen, de "Gravitación" de MTW, de una comparación de varias geodésicas del espacio-tiempo de Schwarzschild en coordenadas de Schwarzschild y coordenadas de Kruskal-Szekeres.

ingrese la descripción de la imagen aquí

Creo que su respuesta es, con mucho, la más completa, por lo que me inclino a establecerla como la respuesta correcta. Sin embargo, estoy teniendo dificultades para averiguar cómo sabes que la coordenada $U$ es espacial para $r>2M$ y temporal de otra manera. ¿Concluye que a partir de las expresiones para $U$ ? Porque no puedo verlo. Otro problema que tengo es averiguar por qué el hecho de que $U$ es temporal en la región interior implica que el cono de luz siempre apunta a la singularidad.
Por cierto, solo para asegurarme de que entiendo lo que dices: cuando dices eso, por ejemplo, $U$ es como un espacio, estás diciendo que si considero la curva, digamos, $c$ , parametrizado por un parámetro $\lambda$ , dado por las ecuaciones paramétricas $c(\lambda)=(c^v,c^u,c^\theta,c^\phi)$ cuyo vector tangente es $\dot{c}(\lambda)=(0,\dot{c^u},0,0)$ entonces $c^uc_u>1$ ?
@PML, arreglé un error tipográfico: quiero ampliar y aclarar un poco esta respuesta, pero estoy en medio de una cena asada en este momento, así que espere un poco de tiempo.
Yo me reí mucho. Gracias por tu tiempo. Veré Physics SE más tarde, entonces.

Juan Rennie · Answer 4

Esto es lo que demostraron Penrose y Hawking con los teoremas de singularidad de Penrose-Hawking . Específicamente, y cito del artículo vinculado:

Penrose concluyó que siempre que haya una esfera donde todos los rayos de luz salientes (y entrantes) convergen inicialmente, el límite del futuro de esa región terminará después de una extensión finita, porque todas las geodésicas nulas convergerán. Esto es significativo, porque los rayos de luz salientes de cualquier esfera dentro del horizonte de una solución de agujero negro están todos convergiendo.

Esto prueba que cualquier línea del mundo que cruce el horizonte de eventos debe terminar en la singularidad.

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