Intuitivamente, ¿por qué los intentos de retrasar el golpe en la singularidad de un agujero negro hacen que lo alcances más rápido?

En realidad, resulta incorrecto que la estrategia óptima sea la caída libre. Existe una estrategia óptima para encender su motor de cohete que maximiza su tiempo adecuado desde el horizonte de eventos hasta la singularidad y lo extiende más allá del tiempo adecuado de un observador en caída libre.

Aquí hay un documento que analiza el tema y describe estrategias para maximizar el tiempo adecuado para la singularidad:

https://arxiv.org/abs/0705.1029v2

Editar: un resumen TL; DR del documento. Un cohete que cae puede maximizar el tiempo adecuado para la singularidad haciendo primero un encendido para que coincida con la trayectoria de un objeto en caída libre que comenzó en reposo en el horizonte. Una vez que el cohete ha coincidido con esa trayectoria específica, debe apagar los motores.

Mi (muy limitada) intuición para esto es que una vez que cruzas el horizonte de eventos, la singularidad no es tanto un punto distante en el espacio como un momento en el tiempo futuro.

En otras palabras, dentro del horizonte de eventos estás disparando tus cohetes no para evitar algún punto$(x,y,z)$, sino más bien para evitar el próximo jueves. A partir de aquí, utilizo mi intuición sobre la dilatación del tiempo y el hecho de que las geodésicas son trayectorias de máximo tiempo propio.

De ninguna manera soy un experto en GR, así que si esta imagen está mal, las correcciones son más que bienvenidas :)

Aquí hay una respuesta parcial, aunque sigue siendo bastante formal. Primero define

$$E := -\left( \frac{2GM}{r} - 1 \right) \frac{dt}{d\tau}, \qquad L := r^2 \frac{d\phi}{d\tau}$$ en las coordenadas habituales de Schwarzschild. Si estás en caída libre, entonces $E$y $L$son constantes a lo largo de su trayectoria, pero si puede encender sus motores, entonces pueden cambiar. Podemos expandir la condición de normalización $U \cdot U = -1$a $$\frac{1}{2} \left( \frac{dr}{d\tau} \right)^2 - \left(\frac{2GM}{r} - 1 \right) \left(1 + \frac{L^2}{r^2} \right) = \frac{1}{2} E^2,$$ que se parece un poco al enunciado de la conservación de la energía (por unidad de masa) para una partícula no relativista con momento angular $L$.

Pero hay dos aspectos extraños en esta ecuación:

1. Cuando expandes el producto de los dos binomios en LHS, obtienes un término extraño$-2GM L^2/r^3$que no aparece en el caso no relativista. A diferencia de la barrera de momento angular centrífugo habitual, esta es una "fuerza" ficticia de momento angular centrípeto que en realidad succiona la partícula hacia adentro en radios pequeños. Esto significa que el momento angular es en realidad su enemigo, no su amigo, para evitar la singularidad, por lo que no desea acelerar de una manera que aumente su magnitud.

2. La energía total efectiva$\mathcal{E}$no es la energia mecanica fisica$E$, pero en vez$\frac{1}{2} E^2$. En el caso estándar no relativista, encender los motores para reducir la caída disminuye la energía mecánica total y ayuda a retrasar la aproximación al centro. (Esto puede parecer contrario a la intuición al principio, porque asociamos energías muy negativas con órbitas muy unidas y energías positivas con órbitas no unidas, por lo que podrías pensar que te gustaría aumentar tu energía. Pero con el fin de retrasar el acercamiento al centro, debes realmente quieres frenar y hacer que tu energía sea más negativa, a expensas de quedar atrapado más profundamente en el pozo de gravedad en general y pasar más tiempo cerca del centro una vez que finalmente llegues allí). Pero en el caso de Schwarzschild,$\mathcal{E} = \frac{1}{2} E^2$significa que su energía efectiva en realidad depende de manera no monótona de su energía física: si su energía física$E$es negativo, entonces hacerlo aún más negativo en realidad aumenta su energía efectiva$\mathcal{E}$. Esto significa que minimizar su energía efectiva requiere mantener su energía física en$E = 0$, que de hecho corresponde a la geodésica óptima que comienza en reposo infinitesimalmente fuera del horizonte. Cualquier intento de frenar más se sobrepasará$E = 0$y enviar$E$negativo, lo que en realidad aumentará tu energía efectiva y te hará daño.

En una métrica, como

$$d\tau^2=g_{11}dt^2-g_{22}dr^2$$

el intervalo más largo$d\tau$entre dos eventos obviamente es cuando$dr=0$simplemente por el signo. Este es el marco de reposo sin movimiento en el espacio y, en consecuencia, sin dilatación del tiempo debido al movimiento. Alguna$dr\ne 0$daría como resultado un movimiento con una dilatación de tiempo más fuerte y por lo tanto disminuiría el intervalo o el tiempo propio.

La métrica de Schwarzschild geometrizada radial dentro del horizonte de eventos es

$$d\tau^2 = \left(\frac{r_s}{r}-1\right)^{-1} \,dr^2 - \left(\frac{r_s}{r}-1 \right)\,dt^2\tag{1}$$

Donde$r$es la coordenada de tiempo y$t$es una coordenada espacial ortogonal al tiempo y por lo tanto no apunta al centro. Como se mencionó anteriormente, el tiempo propio más largo es cuando$dt=0$y por lo tanto

$$d\tau^2 = \left(\frac{r_s}{r}-1\right)^{-1} \,dr^2$$

O

$$d\tau =\dfrac{dr}{\sqrt{\dfrac{r_s}{r}-1}}$$

Resolviendo

$$\tau=-r\sqrt{\dfrac{r_s}{r}-1}-r_s\arctan\left(\sqrt{\dfrac{r_s}{r}-1}\right)+C$$

De$\,r=r_s\,$a$\,r=0\,$el tiempo de vida más largo posible dentro del agujero negro es

$$\tau=\dfrac{\pi}{2}r_s=\pi M$$

Más rigurosamente, la solución ligada de las ecuaciones geodésicas para la métrica radial$(1)$produce las siguientes geodésicas (donde$R$es el radio, a partir del cual comienza la caída en reposo)

$$\tau=\dfrac{R}{2}\sqrt{\dfrac{R}{2M}}\left(\arccos\left(\dfrac{2r}{R}-1\right)+\sin\left(\arccos\left(\dfrac{2r}{R}-1\right)\right)\right)$$

Y

$$t=\sqrt{\dfrac{R}{2M}-1}\cdot\left(\left(\dfrac{R}{2}+2M\right)\cdot\arccos\left(\dfrac{2r}{R}-1\right)+\dfrac{R}{2}\sin\left(\arccos\left(\dfrac{2r}{R}-1\right)\right)\right)+$$

$$+\, 2M\ln\left(\left|\dfrac{\sqrt{\dfrac{R}{2M}-1}+\tan\left(\dfrac{1}{2}\arccos\left(\dfrac{2r}{R}-1\right)\right)}{\sqrt{\dfrac{R}{2M}-1}-\tan\left(\dfrac{1}{2}\arccos\left(\dfrac{2r}{R}-1\right)\right)}\right|\right)$$

Trazar estas funciones para la caída desde el horizonte$r=2M$confirma que no hay movimiento espacial$t=0$(línea azul), así como el tiempo propio máximo$\tau=\pi M$(Línea verde). Tenga en cuenta que el tiempo$r$en el gráfico se mueve de derecha a izquierda.

En comparación, la siguiente gráfica representa una caída desde$r=5M$mostrando el tiempo$t$sobre el horizonte divergiendo hasta el infinito y mostrando un rápido movimiento espacial a lo largo$t$dentro del horizonte causando una dilatación de tiempo más fuerte que resulta en un valor (aproximadamente dos veces) más pequeño del tiempo propio$\tau$entre el horizonte en$r=2M$y la singularidad en$r=0$.

Los gráficos muestran que la gravedad dentro de un agujero negro provoca una desaceleración de los cuerpos en movimiento.$\dfrac{d^2t}{dr^2}\lt 0$y no acelera los cuerpos en reposo con la velocidad de$\dfrac{dt}{dr}=0$.

Con estos resultados, ahora podemos visualizar la geometría de un agujero negro de Schwarzschild en un espacio-tiempo reducido en una dimensión.

En este diagrama, la coordenada$t$es vertical Fuera del horizonte de sucesos$t$representa el tiempo; dentro del horizonte de eventos$t$representa una dimensión espacial que no apunta a la singularidad. la coordenada radial$r$es espacial fuera del horizonte, pero representa el tiempo en el interior. Así, la singularidad es una línea a lo largo de la dimensión espacial de$t$en el momento de$r=0$.

Un cuerpo cayendo del horizonte de sucesos$A$no tiene impulso a lo largo de la dimensión espacial de$t$. Por lo tanto, este cuerpo está estacionario en el interior y se mueve sólo en el tiempo a lo largo$r$de$A$a$B$. Debido a las consideraciones de simetría, este cuerpo no puede ganar un impulso a lo largo de la dirección espacial de$t$durante la caida. Por esta razón, un cuerpo que cae desde el horizonte de sucesos tendría la vida útil más larga posible dentro del horizonte, como se discutió anteriormente. Si bien llamamos a este movimiento "caída libre", de hecho el cuerpo permanece estacionario en el espacio.

Un cuerpo diferente en caída libre desde el infinito o desde cualquier punto exterior se movería fuera del horizonte a lo largo de la geodésica desde$C$a$D$. Pasó el punto$D$el tiempo diverge hasta el infinito para un observador externo. Después de cruzar el horizonte, este cuerpo continúa moviéndose a lo largo de la geodésica desde$E$a$F$(ver también la carta geodésica arriba). Debido a que este cuerpo se mueve en el espacio a lo largo de la dimensión de$t$, el cuerpo experimenta una dilatación del tiempo debido al movimiento que acorta su tiempo propio total dentro del agujero negro.

Para prolongar el tiempo propio, el movimiento a lo largo$t$debe ser desacelerado y detenido, como se muestra en$G$. Después de eso, el cuerpo está estacionario sin movimiento en el espacio a lo largo$t$mientras se mueve solo en el tiempo a lo largo$r$de$G$a$H$. Obviamente, siempre que el tiempo de desaceleración sea insignificante, la vida útil de este cuerpo se maximiza como se discutió anteriormente.