¿Son los horizontes de eventos "geodésicos"?

Más precisamente, los horizontes de eventos son congruencias geodésicas nulas, lo que significa que admiten una parametrización local$x^\mu(t,s_i)$(con$i=1,\ldots,D-2$) tal que:

Para cualquier constante$s_i$el$x^\mu(t,s_i)$curva es una geodésica nula, lo que significa que si$V^\mu = \frac{\partial x^\mu}{\partial t}$, entonces$V^2 = 0$y$V^\mu \nabla_\mu V^\nu = 0$.

De manera equivalente, si dejo caer un rayo de luz sobre cualquier evento en un horizonte de eventos, ¿siempre hay un impulso inicial tal que permanece en el horizonte por un tiempo finito (en el pasado o en el futuro)?

Además, ¿la respuesta es sensible a la dimensión del espacio-tiempo? ¿El tipo de horizonte de sucesos (agujero negro, cosmológico...)?

Al principio pensé que esto era obvio por definición, pero luego, después de pensarlo un poco, me di cuenta de que en realidad no lo es. Un horizonte de sucesos se define esencialmente como una envoltura de geodésicas nulas dirigidas por el pasado desde el futuro infinito nulo, por lo que no hay una razón obvia por la cual el horizonte en sí deba estar hecho de tales geodésicas nulas. (Compare con el ejemplo trivial de un círculo, que es la envoltura de la familia de todas las líneas tangentes a él, pero no es una línea en sí misma...). Sin embargo, no puedo pensar en un contraejemplo.