¿Qué tan cerca tiene que llegar un fotón a un agujero negro para hacer un ciclo completo?

El movimiento de un fotón en un espacio-tiempo de Schwarzschild se describe mediante

$$\frac{1}{L^2} \dot{r}^2 + V _{\text{eff}} (r) = \frac{1}{b^2}\,,$$ dónde $$V _{\text{eff}}(r) = \frac{1}{r} \left(1 - \frac{2GM}{r}\right) \qquad \text{and} \qquad b^2 = \frac{L^2}{e^2}$$ con $$e = \left(1 - \frac{2GM}{r}\right) \dot{t} = \text{constant}$$ y donde finalmente todos los puntos denotan derivadas con respecto a un parámetro arbitrario$\lambda$para la trayectoria del fotón, y$L = r^2 \dot{\varphi}$es el momento angular del fotón (que se conserva debido a la simetría rotacional). Los números fijos$e$y$L$son las integrales de movimiento correspondientes a la$\partial_t$y$\partial_\varphi$Matar vectores.

La cantidad$b$se puede demostrar que es el parámetro de impacto , la distancia entre el BH y la trayectoria asintótica del fotón entrante.

Con todo esto listo, la pregunta puede reformularse como tal: ¿cuál es el valor de$b$tal que la variación total de$\varphi$es$3 \pi$? ($1 \pi$correspondería a ir recto, es el resultado que se obtiene con$M=0$). Además, ¿qué tan pequeño es el valor mínimo de$r$en esta órbita?

Tal vez haya una solución analítica inteligente para el problema, pero solo resolveré la ODE numéricamente.

Después de algunas manipulaciones, el problema se puede reformular como

$$\frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d} \varphi^2} = - u + 3 GM u^2,$$ dónde$u = 1/r$. El parámetro de impacto se usa aquí como una condición inicial: el problema de valor inicial es$u(0) = 0$(lo que significa un radio infinito, concretamente se establece un número pequeño para que funcione la integración) y$u_\varphi (0) = 1/b$.

Por conveniencia, expreso los radios en unidades de$GM$.

El ODE es bastante "quisquilloso", ya que la configuración que está buscando solo ocurre en un rango muy específico para$b$, que (si no estropeé la integración) está por ahí$b \approx 5.2GM$.

Esto es lo que se requiere para un ciclo completo, pero haciendo$n$loops no te aleja de ese valor de$b$: solo se acerca al valor crítico donde el fotón se acerca asintóticamente a la esfera del fotón.

Para la respuesta específica a la pregunta, la configuración que produce$\Delta \varphi = 3\pi$parece ser$b = 5.203GM$, y el radio mínimo alcanzado por la órbita es de aproximadamente$3.09GM$(¡justo encima de la esfera de fotones!).

El radio de Schwarzschild ,

$$r_s = \frac{2GM}{c^2}$$

es la unidad de distancia natural que se utiliza cuando se habla de agujeros negros. Es conveniente trabajar en unidades donde$r_s=1$.

Un agujero negro de Schwarzschild es esféricamente simétrico, por lo que podemos trabajar en el plano horizontal y describir las trayectorias de los fotones en términos del parámetro de distancia de Schwarzschild.$r$y el ángulo de acimut$\phi$. Las ecuaciones son más simples si usamos el parámetro$u=\frac{r_s}r$.

Hay una órbita circular de fotones exactamente$\frac32r_s$, llamada esfera de fotones, pero es inestable. Si un fotón está exactamente en la esfera de fotones, puede orbitar allí para siempre... en un universo que solo contiene el agujero negro y ese fotón. De lo contrario, la más mínima perturbación expulsará al fotón de la esfera de fotones.

Podemos describir la trayectoria de un fotón en términos del parámetro de impacto,$b$, que es la distancia perpendicular desde el centro del agujero negro hasta la asíntota de la trayectoria. En otras palabras,$b$es la distancia mínima (en coordenadas de Schwarzschild) desde la trayectoria del fotón hasta el centro del agujero negro si la trayectoria no fuera desviada por la gravedad.

El valor crítico del parámetro de impacto es

$$b_0 = \left(\frac{3\sqrt3}2\right)r_s$$

Un fotón (sin perturbaciones) con este parámetro de impacto orbitaría para siempre en la esfera de fotones.

La trayectoria de un fotón en la vecindad de un agujero negro está completamente determinada por su$b$y su inicial$r$(o$u$) y$\phi$.

Dejar

$$w=\frac{du}{d\phi}$$

Entonces, a partir de la métrica de Schwarzschild , se puede demostrar que

$$w^2=\frac1{b^2}-u^2+u^3$$

Eso$u^3$término es lo que hace que la trayectoria de un fotón en GR sea diferente de lo que predeciría la mecánica newtoniana.

diferenciando,

$$2w\frac{dw}{du}=-2u+3u^2$$ $$\frac{du}{d\phi}\frac{dw}{du}=-u+\frac32u^2$$ $$\frac{dw}{d\phi}=\frac32u^2-u$$

Un fotón en la esfera de fotones tiene constante$u$, entonces$w=\frac{dw}{d\phi}=0$. Por lo tanto, en la esfera de fotones, desde$\frac{dw}{d\phi}=0$obtenemos$\frac32u^2=u$, eso es,$u=\frac23$, y por lo tanto$r=\frac32r_s$, como se menciono anteriormente. (La otra solución,$u=0$, corresponde a un fotón en el infinito).

Y de$w=0$obtenemos$\frac1{b^2}=u^2-u^3$. Sustituyendo en$u=\frac23$rendimientos$b_0 = \left(\frac{3\sqrt3}2\right)r_s$.

Para$b \ne b_0$(y$b \ne 0$) esa ecuación se puede usar para encontrar el valor de$u$donde la trayectoria hace su acercamiento más cercano al agujero negro. En términos de$r$,

$$b^2 = \frac{r^3}{r-1}$$ en unidades donde$r_s=1$. En otras unidades, $$b^2 = \frac{r^3}{r-r_s}$$

Tenga en cuenta que el tiempo se ha eliminado de estas ecuaciones, solo describen la estructura espacial de la trayectoria. Por supuesto, el fotón no tiene tiempo propio, y el Schwarzschild$t$El parámetro no es muy intuitivo cerca de un agujero negro, incluso cuando describe el movimiento de partículas masivas. Pero joder,

$$\frac{d\phi}{dt}=bu^2(1-u)$$

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A principios de este año, se publicó en Nature's Scientific Reports un excelente artículo sobre este tema de Albert Sneppen, Reflexiones divergentes alrededor de la esfera de fotones de un agujero negro . Sneppen introduce un parámetro conveniente$\delta$, dónde$b=b_0+\delta$.

Si disparas un fotón hacia la esfera de fotones, con$\delta>0$escapará del BH, si$\delta<0$el fotón está condenado a cruzar el horizonte de sucesos. En cualquier caso, si$|\delta|$es lo suficientemente pequeño, el fotón puede orbitar el agujero negro una o más veces.

Sneppen encontró una buena fórmula que relaciona$\delta$al número de veces que orbita un fotón. Si una trayectoria con una determinada$(u_0,\phi_0,\delta_0)$orbita el BH una vez y luego una trayectoria con$(u_0,\phi_0,\delta_0e^{-2\pi n})$es casi idéntico excepto que orbita el BH$n+1$veces.

Estos son algunos ejemplos, con$\phi_0=40°, r_0=\frac{b}{\sin{\phi_0}}$. Ese valor es una aproximación razonable para estos diagramas, pero realmente debería encontrar$r_0$integrando las ecuaciones de movimiento (usando$w$y$\frac{dw}{d\phi}$) de$\phi=0$a$\phi=\phi_0$.

voy a usar$\delta_0=0.003349145847$porque da una buena trayectoria simétrica para eso$\phi_0$.

Aquí está la órbita de escape de 1 bucle, con$\delta=\delta_0$.

Aquí está la órbita de escape de 2 bucles, con$\delta=\delta_0e^{-2\pi}$.

Aquí está la órbita de captura de 1 bucle, con$\delta=-\delta_0$.

Aquí está la órbita de captura de 2 bucles, con$\delta=-\delta_0e^{-2\pi}$.

Aquí hay una órbita de 1 bucle que vuelve a su punto de partida, con$\delta=0.0000133371604, \phi_0=90°$, usando$2880$pasos.

El horizonte de sucesos del agujero negro es el círculo gris de radio 1, la esfera de fotones es el círculo verdoso de radio 1,5. La línea horizontal punteada en la parte superior de los diagramas es la asíntota de la trayectoria del fotón para una órbita de esfera de fotones (es decir, el fotón se lanza horizontalmente, desde el infinito), por lo que su distancia al centro del BH es$b_0$.

Es posible trazar trayectorias con más bucles, pero es muy difícil ver la diferencia entre un trazado con 2 bucles y uno con más bucles.

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Si desea experimentar con estas trayectorias de fotones (p. ej., para ver qué ocurre con los múltiplos impares de$\pi$), aquí hay una versión en vivo del script Sage/Python que usé para crear esos diagramas, ejecutándose en el servidor SageMathCell. El programa calcula trayectorias utilizando la versión Yoshida de cuarto orden de la integración Leapfrog .

Aquí hay una breve descripción de los controles de entrada del script.

deltay phi_0corresponden a$\delta$y$\phi_0$. El programa usa$r_0=\frac{b}{\sin{\phi_0}}$, por lo que la inicial$y$coordenada es igual$b$y el fotón es lanzado (casi) horizontalmente hacia el BH, inicialmente (casi) paralelo a la línea punteada fijada en$y=b_0$. Todos los ángulos deben ingresarse en grados.

El angleparámetro dice hasta dónde desea trazar la trayectoria. Entonces, si phi_0es 40 y anglees 320, la trayectoria se detiene en 360 grados, el eje X. Puede detenerse antes si cae en el BH o si su radio excede el radio inicial.

maxstepsdetermina la precisión de la integración. Para pequeños deltas, necesitará un gran maxsteps. Es más eficiente duplicar (o reducir a la mitad) los pasos máximos. para muy pequeño$|\delta|$, los cálculos perderán precisión, incluso con una gran cantidad maxstepsdebido a errores de coma flotante.

La doublecasilla de verificación dice que se calculen 2 trayectorias para delta, phi_0y angle. La trayectoria azul usa el doble del tamaño de paso de la trayectoria roja. Cuando las dos trayectorias coinciden, son precisas. El programa puede estimar el error del radio final calculado a partir de las dos trayectorias (siempre que las trayectorias se detengan en el mismo ángulo final).

Seleccione dotspara obtener un punto trazado para cada punto calculado. Los puntos que están demasiado cerca del punto anterior no se trazan. Seleccione curvepara trazar la trayectoria utilizando curvas de Bézier cúbicas (el$w$valores se utilizan para determinar los puntos de control de Bézier).

Seleccione svgpara representar el diagrama como un gráfico vectorial SVG (en lugar de como PNG). Esta opción también hace que el SVG esté disponible a través de un enlace.

sizecontrola el tamaño del diagrama.

El programa utiliza un caché de tamaño 4, por lo que si duplicas el número de pasos, puede reciclar la trayectoria roja anterior por la nueva azul. (Y viceversa, si se reduce a la mitad maxsteps). Y si solo realiza cambios cosméticos, es decir, cambiar los puntos, la curva, el svg o el tamaño, puede usar las trayectorias almacenadas en caché.

Los campos de entrada numérica aceptan expresiones en la sintaxis de Sage/Python, por lo que (por ejemplo), puede ingresar 1/50*exp(-2*pi)en el deltacampo, o 100 + 360*2en angle, o 90 * 2^10en maxsteps. Puede usar la constante d2rpara convertir radianes a grados, por ejemplo 3*pi/d2r, . Sage tiene muchas funciones integradas, así que siéntase libre de experimentar o consultar la documentación .