Covarianza de Lorentz de la carga de Noether

Puede utilizar la siguiente notación para hipersuperficies en cuatro dimensiones:

$d\sigma_\mu = \epsilon_{\mu\alpha\beta\gamma}dx^\alpha dx^\beta dx^\gamma$

Por ejemplo$d\sigma_0= d^3x$

La expresión de la cantidad de movimiento-energía es entonces:

$P_\nu = \int d\sigma^\mu \Theta_{\mu\nu}$

El mismo tipo de expresión podría usarse con la carga:

$Q = \int d\sigma^\mu j_{\mu}$

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¿Cómo hacer la conexión con las fórmulas OP?

Uno puede adoptar el siguiente punto de vista, tome por ejemplo la fórmula para el cargo$\tilde Q = \int d\sigma^\mu j_{\mu}$, esto significa :

$\tilde Q = \int d\sigma^0 j_{0} + \int d\sigma^1 j_{1} + \int d\sigma^2 j_{2}+ \int d\sigma^3 j_{3} \\ =\int dx~ dy~ dz ~j_{0}+\int dy~ dz~ dt ~j_{1}+\int dz~ dt~ dx ~j_{2} + \int dt~ dx~ dy ~j_{3} \\=Q + \int dy~ dz~ dt ~j_{1}+\int dz~ dt~ dx ~j_{2} + \int dt~ dx~ dy ~j_{3}$

Ahora, tome una de las integrales residuales, por ejemplo$I_1=\int dy~ dz~ dt ~j_{1}$, es una integral en$x$constante, y uno puede elegir$x=\pm\infty$. En el infinito, podemos suponer que la corriente es cero:$j_1(\pm \infty)=0$. Entonces, asumiendo una corriente cero$j_1$en espacial$x$infinito, obtenemos$I_1=0$, y uno puede tener la misma demostración para las otras 2 integrales.

Entonces, finalmente, con la hipótesis de tomar el corte espacial de las integrales residuales en el infinito espacial y las corrientes que se desvanecen en el infinito espacial, tenemos$\tilde Q = Q$