¿Derivar p=mvp=mvp = mv de la simetría traslacional (ley de conservación de la cantidad de movimiento)?

Si tenemos algunas coordenadas$q_i$y algunos momentos$p_i$, entonces un generador de una transformación se define como una función$g(q_i, p_i)$. Por definición, esto genera la transformación

$$q_i \to q_i + \epsilon \frac{\partial g}{\partial p_i}$$

$$p_i \to p_i + \epsilon \frac{\partial g}{\partial q_i}$$

Entonces, si queremos el generador de traducciones, queremos

$$q_i \to q_i + \epsilon$$

dónde$q_i = x$, alguna coordenada rectangular particular, y también

$$p_x \to p_x$$

(ya que queremos generar solo traducción sin cambiar los momentos). Estos implican$g = p_x + c$. Configuración$c=0$, vemos que x-momentum es el generador de traslaciones en la dirección x.

Realmente no puedes mostrar$p_x = m\dot{x}$a menos que haga algunas suposiciones sobre el hamiltoniano. si asumimos$H(x,p_x) = \frac{1}{2m}p_x^2 + V(x)$, entonces las ecuaciones de Hamilton dan

$$\frac{\partial H}{\partial p_x} = \dot{x} = \frac{p}{m}$$

como usted pidió.

Todo lo anterior solo tendrá sentido si ha estudiado mecánica analítica de una fuente que dejó de lado los generadores. Si no es así, probablemente querrá revisar la formulación hamiltoniana de la mecánica. El capítulo 2 de Principios de la mecánica cuántica de Shankar es una descripción general de la mecánica analítica específicamente destinada a prepararlo para la mecánica cuántica e incluye una discusión sobre los generadores.