¿Invariancia de traslación sin conservación de momento?

En lugar de la fuerza gravitacional real, en la que las dos masas entran simétricamente, considere algo como

F → a b = GRAMO metro a metro b 2 | r → a − r → b | 2 r ^ a b
dónde F → a b es la fuerza sobre la partícula a debido a la partícula b y las unidades de GRAMO han sido ajustados. Siempre que las masas sean desiguales, las fuerzas no son iguales y opuestas, violando la tercera ley de Newton y la conservación del momento en el proceso.

Como se ha violado la conservación del momento, entiendo que esta fuerza también debería violar la invariancia de la traducción. Pero la ley de la fuerza todavía depende solo de las separaciones en lugar de las coordenadas absolutas, por lo que la física parece ser invariante en la traducción. ¿Qué me estoy equivocando?

¿Por qué hay un cuadrado de metro b en tu ecuacion?
@hwlau está postulando una forma alternativa para la fuerza gravitatoria, solo para tener un ejemplo de una fuerza asimétrica para la pregunta.
Querido Mike, fuera de tema. No estoy 100% seguro, pero creo que los vectores con índices tienen flechas más pequeñas solo encima de la letra, como en r → a (simplemente ∖ v mi C r _ a ) y no una gran flecha sobre todo lo que lograste con llaves alrededor r _ a .
Gracias Lubos, estoy de acuerdo en que esto parece más normal. Habiendo pensado en ello, r a b ^ probablemente también no era estándar.

Respuestas (2)

La conservación del impulso no se sigue automáticamente de la invariancia de la traducción. Eso solo sucede debido a las características especiales de las leyes físicas, por lo que si desea probar que la invariancia de la traducción implica la conservación del impulso, deberá usar algunos principios de la física para hacerlo. Invente nuevas leyes que rompan esos principios y, de hecho, puede tener invariancia de traducción sin conservación del momento.

El principio que necesita se llama "acción mínima". Debe poder escribir la ley física de manera que minimice algo, como, por ejemplo, que la luz tome el camino más rápido entre puntos (y minimice el tiempo de viaje). Este es un ejemplo simple de lo que se debe minimizar; otros son más complejos.

En general, creamos una función llamada acción que toma como entrada la historia de todo el sistema físico durante algún tiempo y genera un número. Cualquier movimiento del sistema que minimice la acción sujeta a algunas condiciones de contorno es el movimiento verdadero.

La mayoría de las leyes físicas se pueden escribir de esta manera, incluida la gravedad newtoniana. Tu ley, sin embargo, no puede. La razón es que no podemos pensar en una acción que tenga sentido. Si la fórmula implica metro a metro b 2 , bueno, un problema es que el universo no tiene forma de decidir qué masa es cuál, ¡así que sería muy extraño!

Incluso si hubiera una manera de decidir que el de la izquierda es "b", por ejemplo, nos quedaríamos con eso. Ese de la izquierda siempre sería el que está al cuadrado. En su ley propuesta, siempre elevamos al cuadrado la masa "hasta", pero la fórmula de acción, incluso si sabe que las masas son diferentes, no tiene idea de cuál es "desde" y "hasta", porque solo puede ver todo el sistema. . No se podía pasar de la mínima acción a una manera de tratar a las masas con esta particular asimetría.

Así que tienes razón. Esa ley viola la conservación de la cantidad de movimiento y tiene invariancia de traducción, pero la pieza que te falta es que es una ley extraña que no obedece algunas reglas básicas que sí cumplen las leyes reales.

La introducción más accesible a estas ideas se encuentra en The Character of Physical Law de Feynman , o en esta conferencia que dio: http://www.youtube.com/watch?v=zQ6o1cDxV7o El argumento de interés llega casi al final, 45 o 50 minutos en.

Si bien estoy de acuerdo con la respuesta, me interesaría saber: 1) ¿Cómo podemos probar que su postulado no corresponde a un Lagrangiano? (sin usar un argumento circular) 2) No estoy seguro de qué "sentido" físico tiene la acción, incluso en los sistemas que lo tienen. Me gustaría escuchar alguna elaboración sobre eso.
¿Puedes explicar dónde el argumento que ya di es circular? Es ondulado a mano, pero creo que no es lógicamente defectuoso y es bastante obvio cómo ser más preciso si lo desea.
En cuanto al significado de la acción, no me parece una parte necesaria de este argumento; es más una pregunta aparte. Hay una pregunta aquí physics.stackexchange.com/questions/9686/the-meaning-of-action
Me refiero al argumento de que el universo no puede decidir cuál suena bien, pero no veo cómo eso implica una falta de acción (puramente en términos de una conclusión lógica/matemática). El argumento izquierda-derecha parece invocar la falta de simetría traslacional, que es lo que estamos después de mostrar (?)
No, el argumento izquierda-derecha no tiene nada que ver con la simetría traslacional. No veo cómo consigues eso. Simplemente dice que hay una función L(G,m_a,m_b,r_a,r_b,v_a,v_b,t) y vemos cosas como ∂ L / ∂ r a . Aquí m_a es una constante. Si la fórmula tiene m_a^2, será que la masa en particular se eleva al cuadrado cuando miramos la ecuación de movimiento para a o para b. No hay nada en esto sobre las traducciones.
No expresé bien mi comentario. No creo que tu argumento sea defectuoso, solo estoy tratando de entenderlo mejor. Lo mismo ocurre con el significado de la acción. Esa es una pregunta que no es necesaria aquí, pero que me gustaría saber. Gracias por el enlace
Bueno, la ley de la gravedad asimétrica define, para cualquier configuración inicial, un sistema dinámico legítimo (por ejemplo, podríamos simularlo en una computadora). Entonces, para cualquier condición de contorno particular, podríamos preparar alguna acción que se minimice... por ejemplo, 0 para el camino real y 1 en cualquier otro lugar. Pero, ¿sería entonces el problema que la ley de fuerza no sería una ley verdadera en el sentido de que se deriva de la estructura de una acción general, sino algo que resulta que se cumple para cada configuración inicial particular?
¿Puedes pensar en una acción que sea diferenciable y sea solo una función de algunas constantes, las masas, sus posiciones, sus velocidades y el tiempo?

Tus fuerzas son siempre iguales. Son las aceleraciones que son desiguales en caso de masas iguales. La situación es similar a la interacción de Coulomb. El momento total se conserva. No hay ningún problema aquí.

EDITAR: Como señaló amablemente Michael Brown, se supone que las fuerzas son diferentes. Entonces, de hecho, la conservación del impulso no se cumple. La situación es similar a la de un movimiento conocido de un "cuerpo de abastecimiento" r → b ( t ) : aunque la fuerza sobre el cuerpo de una sonda en r → a depende solo de la distancia relativa | r → a - r → b ( t ) | , la cantidad de movimiento no se conserva (tampoco la energía).

-1 porque aparentemente no notaste el metro b 2 factor que era el foco de la pregunta. El OP no está preguntando sobre la ley de Newton aplicada a cuerpos con diferentes masas, está proponiendo una nueva ley donde las fuerzas son desiguales como contraejemplo a la afirmación de que la invariancia de la traslación por sí sola es suficiente para implicar la conservación del momento.
@MichaelBrown: De hecho, si F → a b ≠ F → b a , entonces es una situación diferente. Entonces es muy similar a una partícula en una fuerza externa donde no se conserva el momento.
Eliminado el -1 ahora.
¿Invariancia de traslación sin conservación de momento?
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