Argumento elemental para leyes de conservación a partir de simetrías *sin* usar el formalismo lagrangiano

Es bien conocido por el Teorema de Noether cómo a partir de simetrías continuas en el Lagrangiano se obtiene una carga conservada que corresponde al momento lineal, momento angular para simetrías de traslación y rotación y otros.

¿Existe algún argumento elemental de por qué se conservan específicamente el momento lineal o angular (y no otras cantidades conservadas) que no requiera el conocimiento de los lagrangianos? Por elemental quiero decir, "si esto no es así, entonces ocurre esta cosa irrazonable".

Por supuesto, podemos decir "si queremos que nuestras leyes sean las mismas en un punto diferente del espacio, entonces se debe conservar la conservación lineal", pero ¿podemos derivar matemáticamente la expresión de la cantidad conservada sin usar el Lagrangiano?

Quiero explicarle a un amigo por qué se conservan pero no tiene los antecedentes para entender el formalismo lagrangiano.

¿Has probado a usar la simetría de la métrica?
@safesphere No, no estaba al tanto de ese argumento. ¿Tiene algún recurso que pueda indicarme para investigar por mi cuenta?

Respuestas (3)

La respuesta es sí, la esencia del teorema de Noether para el momento lineal y angular se puede entender sin usar la formulación lagrangiana (o hamiltoniana), al menos si estamos dispuestos a centrarnos en modelos en los que las ecuaciones de movimiento tienen la forma

(1) metro norte X ¨ norte = F norte ( X 1 , X 2 , . . . )
donde metro norte y X norte son la masa y la ubicación del norte -th objeto, los puntos superiores denotan derivadas temporales, y F norte es la fuerza sobre el norte -ésimo objeto, que depende de las ubicaciones de todos los objetos.

(Esta respuesta todavía usa matemáticas, pero no usa lagrangianos ni hamiltonianos. También es posible una respuesta que no use matemáticas, pero sería más prolija y menos convincente).

Las entradas al teorema de Noether son el principio de acción junto con una simetría (continua). Para un sistema como (1), el principio de acción se puede expresar así:

(2) F norte ( X 1 , X 2 , . . . ) = − ∇ norte V ( X 1 , X 2 , . . . ) .
El punto clave de esta ecuación es que todas las fuerzas se derivan de la misma función V . Traducido libremente, esto dice que si la fuerza sobre el objeto A depende de la ubicación del objeto B , entonces la fuerza sobre el objeto B también debe depender (de una manera especial) de la ubicación del objeto A .

Primero considere el momento lineal. Suponga que el modelo es invariante bajo traslaciones en el espacio. En el contexto del teorema de Noether, esta es una declaración sobre la función V . ¡Esto es importante! Si simplemente asumimos que el sistema de ecuaciones (1) es invariante bajo traslaciones en el espacio, entonces no estaría implícita la conservación del momento. (Para ver esto, considere un sistema con un solo objeto sujeto a una fuerza independiente de la ubicación). Lo que debemos hacer es suponer que V es invariante bajo traslaciones en el espacio. Esto significa

(3) V ( X 1 + C , X 2 + C , . . . ) = V ( X 1 , X 2 , . . . )
para cualquier C . La misma condición también puede expresarse así:
(4) ∂ ∂ C V ( X 1 + C , X 2 + C , . . . ) = 0 ,
donde ∂ / ∂ C denota el gradiente con respecto a C . La ecuación (4), a su vez, también puede escribirse así:
(5) ∑ norte ∇ norte V ( X 1 X 2 , . . . ) = 0.
Combine las ecuaciones (1), (2) y (5) para obtener
(6) ∑ norte metro norte X ¨ norte = 0 ,
que también se puede escribir
d d t ∑ norte metro norte X ˙ norte = 0.
Esta es la conservación del momento lineal (total).

Ahora considere el momento angular. Para esto, debemos suponer que V es invariante bajo rotaciones. Para ser específico, suponga que V es invariante bajo rotaciones sobre el origen; esto conducirá a la conservación del momento angular con respecto al origen. El análogo de la ecuación (5) es

(7) ∑ norte X norte ∧ ∇ norte V ( X 1 X 2 , . . . ) = 0
donde los componentes de X ∧ ∇ están X j ∇ k − X k ∇ j . (Para el espacio tridimensional, esto generalmente se expresa usando el "producto cruzado", pero prefiero una formulación que funcione en cualquier número de dimensiones para que pueda aplicarse sin dudarlo a casos más fáciles como el espacio bidimensional). Ecuación ( 7) expresa la suposición de que V es invariante bajo rotaciones sobre el origen. Como antes, combine las ecuaciones (1), (2) y (7) para obtener
(8) ∑ norte X norte ∧ metro norte X ¨ norte = 0 ,
y usamos la identidad trivial
(9) X ˙ norte ∧ X ˙ norte = 0
(porque a ∧ b tiene componentes a j b k − a k b j ) para ver que la ecuación (8) también se puede escribir
(10) d d t ∑ norte X norte ∧ metro norte X ˙ norte = 0.
Esta es la conservación del momento angular (total) sobre el origen.

Un aparte fascinante: si esto no funciona, entonces dice algo sobre el universo: o no está bien descrito usando la ecuación con la que comenzaste, o no tiene simetría traslacional. Considero que pensar en este caso y lo que eso implicaría acerca de cómo debería funcionar nuestro mundo me da una gran apreciación por el hecho de que esa ecuación y esas simetrías parecen funcionar.

Pruebe el formalismo hamiltoniano : si el generador de simetría q conmuta con el hamiltoniano [ q , H ] = 0 después q es una cantidad conservada.

Claro, pero eso es QM. ¿Y la física clásica?
Esto también funciona en mecánica clásica donde [ ⋅ , ⋅ ] es el corchete de Poisson.
Supuse que sí, pero como estoy acostumbrado a la notación {}... jaja. De todos modos, deberías agregar esto a tu respuesta.
@Qmechanic ¿Es preciso, en mecánica clásica, interpretar el corchete de Poisson? { F , H } de dos funciones F , H ¿como sigue? " { F , h } mide la derivada de F a lo largo de las líneas curvas de H , es decir, la derivada parcial a lo largo del vector X que es tangente a las curvas de H ( X siendo un campo vectorial hamiltoniano)." Esta es la idea aproximada que obtuve al leer CM, pero no sé si es rigurosa. Dado que X da el flujo de tiempo, esencialmente F se conserva en el tiempo si es constante a lo largo de las líneas curvas de H , que son las trayectorias de energía constante en el espacio de fase.
Sí, d F d t = { F , H } + ∂ F ∂ t .

¿Hay alguna diferencia con decir que esas son solo las leyes y que realmente no hay una explicación, que así es como funciona la naturaleza porque no hay experimentos en los que alguna vez hayamos observado la no conservación de esas cantidades? La simetría bajo la acción del grupo de Poincaré implica esas leyes de conservación, pero no estoy seguro de que esté dando una explicación más profunda al respecto. Imponemos que el sistema físico tenga esas simetrías porque queremos que algo se conserve, y ¿cómo se prueba la corrección de la hipótesis de la existencia de algunas simetrías? Realizar experimentos que muestren la conservación de ciertas cantidades. Así que volvemos al principio, se conservan porque se conservan, es decir, los experimentos nos dicen que se conservan.

La pregunta es "¿podemos derivar matemáticamente la expresión de la cantidad conservada sin usar el Lagrangiano ?" Su respuesta no aborda la pregunta en absoluto. No se trata de la filosofía de por qué ocurre la conservación.
@Beanluc En la publicación original, pregunta: "¿Hay algún argumento elemental de por qué se conserva el momento lineal o angular específicamente (y no otras cantidades conservadas) que no requiera el conocimiento de Lagrangianos?" Y di un argumento que no requiere el uso de lagrangianos, diciendo que hay leyes de conservación porque así es como funciona.
Estoy de acuerdo en que al final es circular, por lo que, rigurosamente hablando, no puede justificar completamente las simetrías. Sin embargo, puede formular la pregunta de diferentes maneras y esto podría brindarle información. Los lagrangianos hacen que sea muy fácil generalizar, pero para mí no son muy esclarecedores. El enfoque a través de los potenciales expuesto por Dan es más fácil de entender, aunque el por qué las fuerzas están representadas por el potencial es básicamente un axioma, no puedes probarlo, pero es más fácil de tragar para mí.
Argumento elemental para leyes de conservación a partir de simetrías *sin* usar el formalismo lagrangiano
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