Teorema de Noether y conservación del momento

Entonces, como todos sabemos, para un sistema que tiene simetría de traslación, el teorema de Noether establece que el impulso se conserva, más precisamente, el teorema establece que la cantidad:

$$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$$ por lo que se conserva el impulso generalizado. Aquí tengo un problema: supongamos que quiero mostrar ese momento clásico$p=mv$se conserva en un sistema con simetría traslacional (también, por supuesto, la energía potencial en el Lagrangiano no depende de la velocidad) entonces tengo: $$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=\frac{\partial K}{\partial \dot{x}}=\frac{\partial}{\partial \dot{x}}\frac{1}{2}m\dot{x}^2=m\dot{x}.$$ ¡Perfecto! Pero supongamos que quiero usar una parametrización para mi sistema, entonces: $$x(t)=\Gamma(q(t))$$ como solemos hacer en Mecánica Lagrangiana, entonces tengo que la cantidad conservada sigue siendo: $$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}.$$ De hecho, el teorema de Noether establece que el impulso generalizado se conserva y este es, por definición, el impulso generalizado. Bueno entonces tengo: $$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=\frac{\partial}{\partial \dot{q}}\frac{1}{2}m\dot{q}^2|\Gamma ' (q)|^2=m\dot{q}|\Gamma ' (q)|^2=mv|\Gamma ' (q)|.$$ ¿¿Que es esto?? Además si elijo$\Gamma$para representar una línea con la siguiente parametrización: $$\Gamma = \begin{bmatrix}kq \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}.$$ Yo obtengo: $$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=mv|k|$$ entonces la cantidad conservada depende de la parametrización??? Ahora: sé, por supuesto, que cometí un error en alguna parte; tal vez en el contenido del Teorema de Noether (incluso si tomé el contenido de dicho teorema directamente de mi libro de Mecánica Lagrangiana) o tal vez en otro lugar. Mis preguntas son:

1. ¿Por qué obtengo este resultado?
2. ¿Cómo puedo mostrar ese impulso?$p=mv$se conserva para un sistema traslacional simétrico usando el Teorema de Noether y usando cualquier parametrización$\Gamma$¿Deseo?
3. ¿Es cierto que el impulso generalizado se conserva para cualquier sistema de traslación simétrica?
4. ¿Cuándo la conservación de la cantidad de movimiento generalizada implica la conservación de la cantidad de movimiento clásica?

Este es mi problema; Espero me puedas ayudar. Intente darme una respuesta completa, este problema me está molestando mucho.