Momento canónico frente a Noether para ondas longitudinales en una cadena 1D

Considerar$\phi:x\rightarrow R$, para ser un mapa dependiente del tiempo desde el espacio de posición etiquetado por$x$o$i$a una línea real unidimensional que llamaré el 'espacio objetivo'. Ya que estás hablando de condiciones de contorno periódicas$\phi$traza un bucle en el espacio de destino a medida que varía$x$(es un bucle incrustado en 1 dimensión por lo que vuelve sobre su camino).

Este bucle se localiza en el espacio de destino. Puede definir un 'centro de masa' en una posición media$\phi_0$. Hay entonces dos simetrías de traducción. Puedes cambiar el$\phi\rightarrow \phi+a$que cambia la posición en el espacio de destino. El impulso conjugado$\Pi$es el impulso del centro de masa en el espacio objetivo y, como viste, puedes definir una operación de impulso en$\Pi$.

La otra simetría se traduce en el$x$o$i$espacio. Como la gente ha señalado en los comentarios, esta simetría también existe en el modelo discreto y no tiene nada que ver con el límite continuo. El impulso conjugado$P$describe el flujo de energía alrededor del bucle para un centro de masa fijo en el espacio objetivo.

Hay otra cantidad conservada oculta si$\phi$se considera que se asigna a un espacio de destino compacto como un círculo en lugar de la línea real (es decir,$\phi$es una coordenada angular). Luego, el bucle puede enrollarse completamente alrededor del espacio de destino antes de volver a su punto de inicio y la cantidad de vueltas$m$se conserva con el tiempo junto con$\Pi$y$P$.

Como habrás adivinado, esto tiene una conexión con la teoría de cuerdas. campos como$\phi$describir las coordenadas en el espacio de destino y las dos coordenadas$x$y$t$esos puntos de etiqueta a lo largo del bucle de cuerda se denominan coordenadas de la 'hoja mundial'.

Volver a los muelles longitudinales

Se me ocurrió que es posible que desee una explicación más práctica en términos de resortes longitudinales. Aquí hay una peculiaridad en el sentido de que la posición del espacio objetivo$\phi$parece existir en el mismo espacio que la posición interna de la hoja de palabras$x$. Pero tenga en cuenta que está utilizando condiciones de contorno periódicas para decir que es invariante traslacionalmente en x. En efecto, hay un resorte que conecta los extremos derecho e izquierdo en nuestro$x$etiqueta para que estos dos puntos finales quieran estar cerca uno del otro y todo el sistema forme un bucle tal como lo describí anteriormente. Asi que$P$todavía describe un flujo de energía interna a lo largo de la cadena de resortes.

Y tenga en cuenta que su derivación del Lagrangiano sigue siendo válida en un marco reforzado donde todos los resortes se mueven con la misma velocidad de avance, por lo que$\Pi$todavía describe el momento del centro de masa de todo el sistema en oposición al flujo de energía interna alrededor del bucle.

Si compactas tu total$\phi$posición con condiciones de contorno periódicas, entonces también puede hablar sobre el número conservado de devanados$m$como mencioné anteriormente. Pero tenga en cuenta que estas condiciones de contorno periódicas son distintas de las condiciones de contorno periódicas en$x$lo que equivale a agregar un resorte adicional entre los puntos finales.

En realidad, había un equivalente para la simetría de traslación$\phi(x)\rightarrow \phi(x+a)$en el caso discreto, pero era una simetría discreta$\phi_i\rightarrow \phi_{i+n}$, que por ello no tenía corriente de Noether.

Hay una ambigüedad en la descripción de la teoría: tanto$x$y$\phi(x)$parecen representar la posición a lo largo de la cuerda. Este es el origen más obvio de la ambigüedad en las dos simetrías. Esta ambigüedad no es tan grave en el caso discreto, pero se vuelve problemática en el límite continuo, como descubriste. En aras de distinguir esta ambigüedad, voy a suponer que$\phi(x)$representa el desplazamiento transversal en oposición a los desplazamientos longitudinales.

La otra simetría$\phi(x)\rightarrow \phi(x)+a$en realidad no es una simetría de traslación, sino una constante general, casi como una simetría de calibre, excepto que es una simetría global y no una simetría local. En el contexto de la vibración de una cuerda, esta transformación corresponde a un desplazamiento transversal constante de la cuerda, en oposición a una traslación longitudinal. (Está bien, tal vez uno pueda interpretarlo como una simetría de traslación en la dirección transversal). Se produce porque los campos no tienen masa; no hay término de masa. Si agregara un término de masa, esta simetría desaparecería. Tal término de masa penalizaría los desplazamientos transversales.

Si puedo tratar de interpretar lo que$\Pi$significa que en el contexto del modelo que investiga (pero con desplazamientos transversales), diría que se parece a la velocidad transversal neta. La variable conjugada$\pi=\dot{\phi}$parece ser la velocidad transversal. Integrado en todo el sistema, esto se convierte en la velocidad transversal neta. En el caso de una cuerda sin masa, esta velocidad transversal neta se convierte en una cantidad conservada. Interesante. Tiene sentido si uno ve esta transformación como una traducción transversal.

La respuesta de flippiefanus es exactamente correcta. Para agregar a esto, un punto que a menudo se pasa por alto en la discusión de la teoría de campos es que es crucial distinguir cuidadosamente entre transformaciones/simetrías internas y transformaciones/simetrías espaciales . Estrictamente hablando, un campo es un mapa de una variedad de espacio-tiempo M a un espacio de campo F, y los dos espacios$M$y$F$son completamente ajenos. Esta distinción es crucial para comprender el teorema de Coleman-Mandula y sus diversas lagunas. Vea aquí otro ejemplo en el que la distinción es importante.

Para un sistema de resortes que se mueven longitudinalmente, la variedad de espacio-tiempo$M$es el conjunto discreto de puntos donde descansan los extremos de los resortes cuando están todos relajados. El espacio de campo es el pequeño intervalo$[-d\varphi, d\varphi]$sobre las que oscilan sobre sus posiciones de reposo. Siempre que la amplitud de la oscilación sea mucho menor que la longitud del resorte, no hay ambigüedad sobre en qué "lugar de descanso" vive cada masa. Pero cuando se vuelven comparables, la coordenada$x$y el valor del campo$\varphi(x)$se vuelven ambiguamente interrelacionados, por lo que el límite continuo no está bien definido. Estrictamente hablando, debe tomar el orden correcto de los límites continuos, donde$d\varphi \to 0$mucho más rápido que las longitudes de resorte. En otras palabras,$d \varphi \ll dx$, o$d \varphi/dx$es "pequeño", en las unidades apropiadas. Esta es la afirmación habitual de que los campos continuos solo tienen sentido cuando varían muy lentamente.

TLDR: en general, no puede tomar el límite continuo ingenuo para un sistema de resortes oscilantes longitudinalmente acoplados, aunque todo está bien para resortes oscilantes transversalmente. (Entonces, para la intuición, es mejor visualizar siempre las oscilaciones transversales para que esta sutileza no lo haga tropezar). Para obtener una teoría de campo bien definida, debe diferenciar sin ambigüedades los grados de "campo/interno" y "espacial". libertad a nivel microscópico.