Existencia de derivada en un punto

tengo la funcion F ( X ) = X 1 + | X | y tengo que encontrar dónde se deriva, así como los puntos donde no existe. La derivada es bastante fácil de encontrar, F ′ ( X ) = 1 ( 1 + | X | ) 2 . Esta derivada obviamente existe en X ≠ 0 , pero teniendo valores absolutos y todo eso, estaba preocupado por la existencia en X = 0 . Usando la definición de la derivada en 0;

F ′ ( 0 ) = límite h → 0 ( F ( 0 + h ) − F ( 0 ) h ) = límite h → 0 ( 1 | h | + 1 ) = 1

Este límite claramente existe y es igual a 1, tanto por la izquierda como por la derecha, además de estar de acuerdo con la expresión general para la derivada de arriba. Así parece F debe ser diferenciable en todas partes. Sin embargo, mi libro afirma que en X = 0 , F no es diferenciable. ¿Hay algo que me estoy perdiendo sobre la definición de diferenciabilidad en un punto, o me he perdido algo completamente diferente? ¡Cualquier ayuda sería muy apreciada!

Creo que tienes razón.
La función es diferenciable en 0 pero la derivada es (puede ser un error tipográfico) 1 ( 1 + | X | ) 2 , y que uno no es diferenciable en 0 .
@nicomezi Parece que estás diciendo que la derivada no es diferenciable en cero, pero creo que eso es irrelevante para saber si la función en sí es o no diferenciable en cero.
@Joanpemo Por supuesto, esto fue solo para evitar un posible error.
@nicomezi Gracias, ya veo.

Respuestas (1)

Otra forma: ¿por qué no anotas explícitamente tu función?:

F ( X ) = { X 1 − X = − 1 + 1 1 − X , X < 0 X 1 + X = 1 − 1 1 + X , X ≥ 0

Por lo tanto, la función es claramente diferenciable en cualquier X ≠ 0 . En cero tenemos:

límite X → 0 − F ( X ) − F ( 0 ) X = límite X → 0 − 1 1 − X = 1 límite X → 0 + F ( X ) − F ( 0 ) X = límite X → 0 + 1 1 + X = 1

Dado que ambos límites unilaterales definen F ′ ( 0 ) existen finitamente y son iguales tenemos que F ′ ( 0 ) = 1 , por lo que la función de hecho es diferenciable en todas partes.

Existencia de derivada en un punto
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