¿Un punto de inflexión donde la segunda derivada no existe?

Toma por ejemplo

Para$x<0$tienes$f''(x) = -2$mientras que para$x > 0$tienes$f''(x) = 2$.$f$es continuo como$0$, desde$\lim_{t\to0^-} f(t) = \lim_{t\to0^+} f(t) = 0$, pero como la derivada por la izquierda de segundo orden$-2$es diferente de la derivada por la derecha de segundo orden$2$en cero, la derivada de segundo orden no existe allí.

Para su segunda pregunta, tal vez las cosas estén más claras si se expresan así

Si la segunda derivada es mayor que cero o menor que cero en algún punto$x$, ese punto no puede ser un punto de inflexión

Esto es bastante razonable: si la segunda derivada existe y es positiva (negativa) en algún$x$, que la primera derivada es continua en$x$y estrictamente creciente (decreciente) alrededor$x$. En ambos casos,$x$no puede ser un punto de inflexión, ya que en tal punto la primera derivada necesita tener un máximo o un mínimo local.

Pero si la segunda derivada no existe, entonces ese razonamiento no es posible, es decir, para esos puntos no sabes nada sobre el posible comportamiento de la primera derivada.

Una función puede ser continua pero no tener una segunda derivada. Por ejemplo, considere

La declaración que das solo dice que necesitas verificar los puntos sin una segunda derivada o donde es cero. Hay ejemplos donde

1. la segunda derivada no existe como $$f(x)=\cases{ x^2 & $x\le 0$ \\ 2x^2 & $x>0$ }$$
2. la segunda derivada existe y es cero como$f(x)=x^4$

pero la función no tiene un punto de inflexión.

La función$y=x^{{1/3} }$tiene como segunda derivada$y''= -\frac{2}{9}\,{x}^{-5/3}$, que no está definido en$x = 0$. Las pendientes de las rectas tangentes a la curva original$y$tiende a$\pm \infty$como$x$enfoques$0$. A pesar de que la segunda derivada no está definida en el punto$x = 0$, es un verdadero punto de inflexión de$y$.

Existe un punto de inflexión donde cambia la concavidad. Donde la derivada es creciente, la gráfica es cóncava hacia arriba; donde la derivada es decreciente, la gráfica es cóncava hacia abajo. La concavidad puede cambiar donde la segunda derivada es 0 o indefinida. Dijiste que la gráfica debe ser continua. No estoy seguro de que eso sea cierto, pero si lo es, entonces esto todavía funciona. La gráfica puede ser continua incluso si la segunda derivada no lo es. En otras palabras, si la segunda derivada no está definida en x=a, la f(x) indiferenciada aún puede existir en x=a. Sólo el gráfico debe ser continuo. La segunda derivada no tiene por qué serlo. No estoy seguro de haber respondido a todas sus preguntas, pero espero haber ayudado.

Toma la función$f(x)=x^{1/3}$que tiene$0$como el punto de inflexión, pero las derivadas no existen en ese punto. En particular, la doble derivada tampoco existe.

No estoy seguro de si esto es exactamente lo que está buscando, pero: la función$f(x) = x^4$tiene ambos$f'(0)=0$y$f''(0)=0$, y tiene un mínimo local en$0$.