¿Por qué definir la derivada de una función definida en un intervalo?

En las conferencias en video sobre análisis real del profesor Su, utiliza la siguiente definición para la derivada:

Una función$f: [a,b] \to \mathbb{R}$es diferenciable en$x \in [a,b]$si el limite$\lim_{t \to x} \frac{f(t)-f(x)}{t-x}$existe En este caso decimos$f'(x)=\lim_{t \to x} \frac{f(t)-f(x)}{t-x}$es la derivada de$f$en$x$.

La definición de límite en$\mathbb{R}$es como sigue:

Dejar$f:E \to \mathbb{R}$dónde$E \subset \mathbb{R}$y deja$p$ser un punto límite de$E$, entonces decimos$\lim_{x \to p} f(x)=q$si$\exists q \in \mathbb{R}: \forall \epsilon>0$ $\exists \delta>0$calle$\forall x \in E$,$0<\lvert x-p \rvert<\delta \implies \lvert f(x)-q \rvert<\epsilon$.

Me preguntaba por qué nos restringimos a funciones con un intervalo como dominio. Por lo general, las definiciones en espacios métricos se basan en ejemplos en$\mathbb{R}$y puede generalizarse a espacios métricos arbitrarios, por ejemplo, la definición de límite de una función o la continuidad de una función puede generalizarse reemplazando el valor absoluto por una función de distancia. Por supuesto, la derivada definida como límite de un cociente no se puede generalizar a espacios métricos arbitrarios ya que la división podría no estar definida, pero ¿por qué nos limitaríamos a funciones definidas en un intervalo?

A la luz de la definición del límite, podemos dar sentido a este límite para cualquier función definida en un subconjunto$E \subset \mathbb{R}$. Por supuesto, en el caso de que el dominio sea$\mathbb{R}$no necesitamos especificar la condición de que$x$debe ser un punto límite para la derivada en$x$existir desde cada punto de$\mathbb{R}$es un punto límite. Sin embargo, si generalizamos esto a funciones$f:E \to \mathbb{R}$dónde$E \subset \mathbb{R}$, entonces requerimos que$x$es un punto límite para que el límite tenga sentido.

Esta definición también cubriría los casos especiales de intervalos. Por ejemplo, podemos dejar$E=[a,b]$, entonces cada punto en este intervalo es un punto límite siempre que$a \neq b$y podemos considerar el límite en cualquier punto sin necesidad de introducir límites unilaterales por separado. Esto se debe a que podemos considerar$[a,b]$como un espacio métrico por derecho propio y para la$\delta$bola de cualquier radio sobre$a$o$b$en$[a,b]$simplemente se corta por un lado (porque solo consideramos puntos en el espacio métrico).

Para resumir, ¿por qué la mayoría de los libros de texto/conferencias sobre análisis real se limitan a intervalos abiertos o cerrados para derivadas?