¿Por qué MVT no prueba que todas las derivadas son continuas?

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¿Por qué MVT no prueba que todas las derivadas son continuas?

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Matemáticas
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usuario783401

Obviamente algo está mal con el siguiente argumento, pero no soy del todo lo que es. Dejar $f$ ser diferenciable en $(-1,1)$ y arreglar $0<x<1$ . Entonces, por MVT, existe $0<y<x$ tal que

\frac{F (X) - F (0)}{X} = F^{'} (y)

$\frac{f(x)-f(0)}{x} = f'(y)$ Tomando el límite como

x \to 0

$x \rightarrow 0$ en ambos lados da

f^{'} (0)

$f'(0)$ en el LHS por definición, por lo que obtenemos

f^{'} (0) = lim_{x \to 0} f^{'} (y)

$f'(0) = \lim_{x \rightarrow 0} f'(y)$ , lo que parece demostrar

f^{'}

$f'$ es continua en cero ya que

y \to 0

$y \rightarrow 0$ como

x \to 0

$x \rightarrow 0$ . Nuevamente, sé que esto está mal y puedo producir un contraejemplo (por ejemplo,

f (x) = x^{2} \sin (1 / x)

$f(x) = x^2\sin(1/x)$ , entonces

f^{'} (0) = 1

$f'(0) = 1$ pero

f^{'} (x) < 0

$f'(x) < 0$ en barrios de

0

$0$ ). ¿Alguien puede decirme exactamente qué paso no es válido? Basado en las condiciones de la regla de L'Hopital, la falla parece ser que asumo

lim_{x \to 0} f^{'} (y)

$\lim_{x \rightarrow 0} f'(y)$ existe, pero no estoy seguro si es esto ya que acabamos de probar que existe y es igual

f^{'} (x)

$f'(x)$ .

pancini

La misma lógica da una prueba falsa de que cualquier función con la propiedad de valor intermedio es continua. Ayuda a ver lo que sucede con el contraejemplo.

x \mapsto \sin (1 / x)

$x\mapsto \sin(1/x)$ y

0 \mapsto 0

$0\mapsto 0$ .

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¿Por qué MVT no prueba que todas las derivadas son continuas?

La misma lógica da una prueba falsa de que cualquier función con la propiedad de valor intermedio es continua. Ayuda a ver lo que sucede con el contraejemplo. $x\mapsto \sin(1/x)$ y $0\mapsto 0$ .

contraejemplosmatematicas.net · Answer 1

La primera afirmación es de hecho falsa. Tienes

\frac{F (X) - F (0)}{X} = F^{'} (y_{X})

$\frac{f(x)-f(0)}{x} = f^\prime (y_x)$ según el MVT donde $y_x \in (0,x)$ depende de $x$ . Por lo tanto, no tienes forma de probar que

lim_{x \to 0} f^{'} (x)

$\lim\limits_{x \to 0} f^\prime(x)$ existe en base a eso. Solo puedes afirmar que

lim_{x \to 0} f^{'} (y_{x}) = f^{'} (0)

$\lim\limits_{x \to 0} f^\prime(y_x) =f^\prime(0)$ .

Tu segunda afirmación también es falsa. $f(x)=x^2 \sin \left(\frac{1}{x}\right)$ es diferenciable en cero y $f^\prime(0)=0$ . Sin embargo, como notó correctamente, la derivada no tiene un límite en cero.

Correcto, hemos demostrado que existe una secuencia particular $\{f'(y_x)\}$ que tiende a $f'(0)$ , pero no que todas esas secuencias $\{z_x\}$ tal que $z_x \rightarrow 0$ satisfacer $\lim_{x \rightarrow 0} f'(z_x) = f'(0)$ , por lo que no podemos concluir la continuidad. ¿Es eso correcto? También tienes razón sobre la segunda parte, estaba pensando en $x + x^2sin(1/x)$ , buena atrapada.

Anónimo · Answer 2

La dependencia lógica entre $x$ y $y$ está en la dirección equivocada.

Aquí como $x \to 0$ a través de valores positivos, hay para cada $x > 0$ un correspondiente $y \in (0,x)$ .

Para que el argumento funcione, necesitaría probar que como $y \to 0$ a través de valores positivos, para cada valor de $y$ hay un correspondiente $x > y$ tal que $f'(y) = (f(x) - f(0))/x$ , siendo además la dependencia tal que como $y \to 0$ , tenemos $x \to 0$ .

robarjohn · Answer 3

El teorema del valor medio dice que si $f$ es diferenciable en todos los puntos de $[a,b]$ , entonces hay un punto $a\lt\xi\lt b$ de modo que

\frac{F (b) - F (a)}{b - a} = F^{'} (ξ)

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)$ Considerar

f (x) = x^{2} \sin (\frac{1}{x})

$f(x)=x^2\sin\left(\frac1x\right)$ . La siguiente imagen muestra los gráficos de

f^{'} (x)

$f'(x)$ y

\frac{f (x) - f (0)}{x - 0}

$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ :

El teorema del valor medio garantiza que una recta horizontal que pasa por cualquier punto de la gráfica de $\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ cortará la gráfica de $f'(x)$ en algún lugar entre $0$ y $x$ . Como puede verse, esto se puede hacer sin $\lim\limits_{x\to0}f'(x)$ existente.

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usuario783401

pancini

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usuario783401

contraejemplosmatematicas.net

Anónimo

robarjohn

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