Demostrar que f(x,y)=xy3+exyf(x,y)=xy3+exyf(x,y)= xy^3+e^{xy} es diferenciable direccional en cualquier dirección

La función$f: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R$es definido por

$$f(x,y)= xy^3+e^{xy}$$ Muestra esa$f$es direccional diferenciable en cualquier dirección$v\in \mathbb R^2$en el punto$(1,1)$y dar la fórmula para$D_vf(1,1)$

Pensé que podría usar que es diferenciable direccional si

$$lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(\xi+tv)-f(\xi)}{t}$$ existe

Así que eso es lo que traté de mostrar, pero me quedé atascado.

$$\lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(\xi+tv)-f(\xi)}{t}=\lim_{t \rightarrow 0}\frac{(1+tv_1)(1+tv_2)^3+e^{(1+tv_1)(1+tv_2)}-1-e}{t} = 0$$

Pero eso también significaría que$D_vf(1,1)=0$, que se sentía un poco mal. ¿Estoy usando mal la definición?

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$$\lim_{t \rightarrow 0}\frac{(1+tv_1)(1+tv_2)^3+e^{(1+tv_1)(1+tv_2)}-1-e}{t} = v_1(1+e)+v_2(3+e)$$