¿Puede un número irracional tener un número finito de un dígito determinado?

Esta pregunta surgió porque me preguntaba lo siguiente: si los dígitos de PI se colocan en orden ascendente, ¿cuál es el <insertar-número-finito-grande-aquí>-ésimo dígito?

Creo que la respuesta es 0, pero no estoy seguro. La razón por la que no estoy seguro depende de la respuesta a si un número irracional puede tener un número finito de cierto dígito. Si este es el caso, entonces es concebible que pueda haber un número finito de ceros. Tomando un ejemplo, digamos que vamos a codificar cada dígito de PI a través de la función

F ( X ) = { 10 + X , w h mi norte X ≠ 0 99 , w h mi norte X = 0
Es decir, por ejemplo, si estoy codificando los dígitos de 20 , entonces reemplazaría el 2 con F ( 2 ) y el 0 con F ( 0 ) Obtendría, como resultado final, 1299 . Esta función de mapeo parece eliminar totalmente los ceros de la respuesta. Al hacer lo mismo con PI, puedo eliminar totalmente sus ceros. También parece concebible que aún pueda generar un mapeo único si aplico la función a los dígitos solo después del primer cero.

Entonces : ¿mi argumento se sostiene? ¿Es posible convertir un número irracional en uno con un número finito de un dígito determinado? Además, ¿es posible probar si un número irracional arbitrario tiene un número finito de cierto dígito?

Entonces, de hecho, está preguntando: ¿todo número irracional ...?

Respuestas (3)

El número 0.010010001000010000010000001 … es irracional y no tiene instancias de ningún dígito que no sea 0 y 1 . De manera más general, elija dos dígitos d y mi , y formar el número

0. d mi d mi mi d mi mi mi d mi mi mi mi d mi mi mi mi mi d … ;

nunca se vuelve periódico, por lo que es irracional. Por supuesto, uno puede insertar cualquier cadena finita de dígitos entre el punto decimal y la expansión de un número irracional y todavía tener un número irracional, por ejemplo, 0.345345010010001000010000010000001 … .

Creo que el OP significaba algo así como 0.8787100100010000 ⋯ . He aquí el 8 y 7 ocurren solo dos veces. Básicamente, queremos una suma de un racional más un irracional "lagunero", supongo.
@Peter: pensé que era obvio que uno podría prefijar cualquier cadena finita, pero lo agregaré.
Pero, ¿es posible probar si un número irracional arbitrario tiene o no un número fijo de cierto dígito?
@Maz: No en general, no.

Sí. Para un ejemplo extremo, dejemos a tener expansión decimal

0.101001000100001000001 … .
El número de 0 's entre consecutivos 1 es 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , etcétera. Así, la expansión decimal de a no puede ser en última instancia periódica, y por lo tanto a es irracional

Por cierto, no se sabe si la expansión decimal de π tiene infinitamente muchos 0 's. Lo mismo se aplica a cualquier otro dígito.

Por supuesto, uno puede agregar cualquier cadena finita de números antes de la secuencia "binaria" para cumplir con la solicitud del OP.

Sí, y sin darte otro ejemplo, déjame darte el vocabulario. Se dice que un número irracional es un número "normal" si cada dígito, del 0 al 9 en base 10, y en cada sistema de numeración base, se presenta en cantidades iguales. Todos los números irracionales deben contener al menos dos dígitos únicos en cantidades infinitas, pero no necesariamente en igual proporción.

¿No requiere la normalidad que cada cadena, no solo cada dígito, se distribuya uniformemente? ¿Requerir que cada dígito se distribuya uniformemente en CADA base implica que cada cadena también se distribuya uniformemente?
En realidad, al menos dos deben estar en la misma cantidad (de la misma manera que hay tantos números pares como números naturales). Suponga que todos los dígitos ocurren un número diferente de veces. Que uno ocurrirá más. Como el número de dígitos de un número irracional es ℵ 0 la suma de las ocurrencias será esa. Para que esto sea cierto, el más grande debe ser ℵ 0 . Entonces los otros deben ser menos, y por lo tanto finitos en ocurrencia. Eventualmente se agotarán, y luego será solo el dígito mayor, lo que lo hace racional, ¡lo cual es una contradicción!
Por lo tanto, dos deben ocurrir el mismo número de veces, ℵ 0 .
@QuinnCulver Resulta que la respuesta es sí, pero este es un resultado no trivial: sugiero mirar la sección 3.5 en el volumen 2 de El arte de la programación de computadoras de Donald Knuth , específicamente el Teorema C allí.
¿Puede un número irracional tener un número finito de un dígito determinado?
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