Dimensiones con campos y subcampos

arreglar un campo$F$y un subcampo$K \subseteq F$. Además, considere la matriz$A \in M_{m,n}(K)$. Definir$V_{K} = \{x \in K^n: Ax=0\}$. Este es un espacio vectorial sobre$K$. Definir$V_{F} = \{x \in F^n: Ax=0\}$. Este es un espacio vectorial sobre$F$.

Pruebalo$dim_{K}(V_{K}) = dim_{F}(V_{F})$.

Originalmente iba a abordar esto usando el teorema de nulidad de rango, ya que parece haber estado relacionado con el núcleo, pero hay una pista que dice cómo difiere la eliminación gaussiana de A con las entradas en$F$. Estoy un poco confundido en cuanto a cómo está involucrada la eliminación gaussiana en este problema en primer lugar. ¿Algún consejo sobre cómo hacer esta prueba? Gracias.