Consulta sobre la solución a la "Introducción a la electrodinámica" de Griffith, Cuarta edición, Problema 4.13 [cerrado]

Question

Consulta sobre la solución a la "Introducción a la electrodinámica" de Griffith, Cuarta edición, Problema 4.13 [cerrado]

El gato de Schrödinger

Estaba resolviendo el siguiente problema de Introducción a la electrodinámica de Griffith ^, 4ª edición:

q $4.13$ : Un cilindro muy largo de radio $a$ lleva una polarización uniforme $P$ perpendicular al eje. Encuentre el campo eléctrico dentro y fuera del cilindro.

Mi intento :

Desde $P$ es uniforme, entonces $\rho_b=0$ y $\sigma_b=\vec P\cdot \hat n=\vec P\cdot \hat s=P \cos \theta$

Ahora consideramos 2 cilindros gaussianos de longitud $a$ y radio $r$ , $r<a$ en cilindro $1$ y $r>a$ en cilindro $2$ .

Aplicando la Ley de Gauss, para $r<a$ ,

\begin{aligned} \vec{mi} \cdot d \vec{A} = \oint \frac{1}{ϵ_{0}} q_{enc} & = \frac{1}{ϵ_{0}} \int_{V} ρ_{b} d V = 0 \\ ⟹ \vec{mi} & = \vec{0} \end{aligned}

$\begin{align}\vec E\cdot {\mathrm d\vec A}=\oint \frac{1}{\epsilon_0}Q_\textrm{enc} &=\frac{1}{\epsilon_0} \int_V \rho_b \,\, ~\mathrm dV=0\\ \implies \vec E &=\vec 0\end{align}$

Aplicando la Ley de Gauss, para $r<a$ ,

\begin{aligned} \vec{mi} \cdot d \vec{A} = \oint \frac{1}{ϵ_{0}} q_{enc} & = \frac{1}{ϵ_{0}} (\int_{V} ρ_{b} d V + \int_{S} σ_{b} d A) \\ ⟹ mi \cdot 2 π r yo & = \frac{1}{ϵ_{0}} (0 + PAG porque θ \cdot 2 π a yo) \\ ⟹ \vec{mi} & = \frac{PAG a porque θ}{ϵ_{0} r} \hat{s} \end{aligned}

$\begin{align}\vec E\cdot {\mathrm d\vec A}=\oint \frac{1}{\epsilon_0}Q_\textrm{enc} &=\frac{1}{\epsilon_0} \left(\int_V\rho_b \,\,~\mathrm dV + \int_S \sigma_b ~\mathrm dA\right)\\ \implies E\cdot 2\pi rl &=\frac{1}{\epsilon_0} (0 + P \cos \theta \cdot 2\pi a l)\\ \implies~~~~~~~~~~ \vec E &=\frac{Pa\cos \theta}{\epsilon_0r} \hat s \end{align}$

Pero Griffith está proporcionando una solución diferente que es completamente diferente a la mía que no puedo entender en absoluto.

¿Alguien puede explicar por qué estoy equivocado o si estoy equivocado?

Respuestas (3)

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estudiante graduado · Answer 1

En primer lugar, creo que tienes un problema con tu notación. La Ley de Gauss debe decir

\int_{\partial V} \vec{mi} \cdot d \vec{S} = \frac{q_{enc}}{ϵ_{0}},

$\int_{\partial V} \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{q_{\text{enc}}}{\epsilon_{0}},$ donde la carga encerrada se puede escribir como

q_{enc} = \int_{V} ρ ({\vec{r}}^{'}) d V^{'} .

$q_{\text{enc}} = \int_{V}\rho(\vec{r}^{\, \prime}) dV^{\prime}.$ Es muy importante que recuerdes esto.

Por otro lado, una vez que configuras $\sigma_{b} = P \cos \theta$ , debería poder usar la separación de variables para resolver la ecuación de Laplace para obtener el potencial en ambas regiones, y luego puede calcular el campo eléctrico simplemente tomando su gradiente.

No estoy totalmente seguro de esto, pero creo que no deberías considerar la carga encerrada como la integral de volumen de la densidad de volumen más la integral de superficie de la densidad de superficie inducida. Además, no creo que pueda usar la ley de Gauss directamente, a menos que proceda como lo hace Griffiths.

nuevo alumno · Answer 2

Puedo ayudar con Pero Griffith está proporcionando una solución diferente que es completamente diferente a la mía y que no puedo entender en absoluto.
Por lo general, uno tiene un problema para entender la parte
"Piense en ello como dos cilindros de densidad de carga uniforme opuesta"
en la imagen que ha adjuntado.
Es similar al caso de la esfera uniformemente polarizada ; ver la imagen
Lo que significa que cuando el cilindro está polarizado las cargas ligadas se distribuyen de tal manera que la carga positiva se acumula en la dirección en la que apunta el vector de polarización (aquí, el lado superior de la superficie curva del cilindro) mientras que la carga negativa la carga se acumula en la dirección opuesta (lado inferior de la superficie curva)

He dado una representación similar para un cilindro en las figuras a continuación. Se puede suponer que las cargas en el cilindro de la imagen (a) se deben a dos cilindros diferentes con densidades de carga de límite opuesto, positivo para el rojo y negativo para el verde. Las cargas de estos dos se cancelan en las regiones superpuestas pero producen aproximadamente el mismo efecto que el cilindro original debido a las cargas en las regiones que no se superponen.

Usando estos dos nuevos cilindros supuestos, el campo eléctrico neto del cilindro original se puede calcular usando el principio de superposición usando el campo individual debido a las densidades de carga de los dos cilindros.
Espero que ayude

Proporcione detalles adicionales en su respuesta. Tal como está escrito actualmente, es difícil entender su solución.

Ari · Answer 3

Aquí $\rho_b=0$ pero $\rho_{free}$ no es cero Para usar la ley de Gauss, debe considerar la carga total, es decir, la carga libre y ligada.

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