Electrolitos y campo eléctrico.

Quiere algo como la ecuación de Poisson-Boltzmann , o su forma linealizada, la ecuación de Debye-Huckel .

Para ilustrar el efecto, considere una carga esférica inmóvil$Q$en el centro de su sistema de coordenadas, rodeado de pequeños portadores de carga móviles$\pm q$. La ley de Gauss te dará el potencial$\phi(r)$como una función (esféricamente simétrica) de$Q$y el número de cargos móviles contenidos dentro del radio$r$. La energía potencial de una sola carga móvil$q$situado en$r$es$U = q\phi(r)$. Debido a que estas cargas pueden moverse fácilmente, seguirán una distribución de Boltzmann. La combinación de esos dos hechos le dará una ecuación diferencial para el potencial en todas partes. Es una ecuación desagradable, porque contiene un$\exp(\phi(r)/kT)$término.

Si el potencial es mucho menor que$kT$, Taylor puede expandir la exponencial como$\exp(\phi/kT) = 1 + \phi(r)/kT + O(\phi^2)$. Eso te da una ecuación diferencial lineal para$\phi$. El resultado de esa ecuación es que$\phi(r) \propto \frac{e^{-\kappa r}}{r}$. Así que además de la$1/r$dependencia que ves de la carga inmóvil, adquieres una caída exponencial debido a la "nube" de cargas móviles.$\kappa^{-1}$se llama la duración de proyección de Debye . La característica más importante es que la longitud de Debye es proporcional a la raíz cuadrada de la concentración de sus iones móviles.

Debería ser posible escribir la ecuación de Poisson-Boltzmann para una carga/potencial fijo arbitrario. Y si la fuerza iónica que le interesa es lo suficientemente débil, también debería ser posible escribir la ecuación de Debye-Huckel correspondiente. Supongo que el efecto principal de agregar los iones seguiría siendo el$e^{-\kappa r}$caerse.