Buscando una prueba simple de simetría del tensor de susceptibilidad lineal

Obteniendo un tensor de susceptibilidad diagonal:

Defina el tensor de susceptibilidad lineal como$\chi_{ij}$:$P_i = \epsilon_0\chi_{ij}E_j$, usando notación estándar para el campo eléctrico y la polarización. Si se supone un modelo de juguete con átomos que tienen un potencial armónico:

$$\ddot{x} + 2\gamma\dot{x} + \omega_0^2x = -eE_x(t)/m$$ ahora si ponemos $E_x(t)$en términos de exponenciales/sinusoide con una frecuencia forzada $\omega$, podemos encontrar la solución de estado estacionario de la misma manera que un oscilador armónico forzado. Entonces el $x$se puede usar para escribir $P = -Nex$, con $N$que denota densidad numérica. Finalmente, podemos terminar con una expresión donde $P \propto E$y obtener la susceptibilidad escalar .

En principio, podemos cambiar el valor de$\omega_0$para$y$y$z$y escriba tres ecuaciones diferentes para los ejes cartesianos para generar un tensor de susceptibilidad diagonal, donde no todos los términos distintos de cero son iguales. Obviamente, este tensor es simétrico y si hacemos una transformación de semejanza, permanecerá simétrico.

¿Demostrar simetría?

No estoy seguro de cómo extender esta idea básica para demostrar que el tensor de susceptibilidad debería ser simétrico en general, como se indica aquí en la página 2.

La matriz$\chi$se conoce como tensor de susceptibilidad, y es un tensor de rango 2. Esta es la representación más general de la susceptibilidad de un medio dieléctrico lineal y uniforme. Se puede demostrar que, para un material sin pérdidas y no ópticamente activo,$\chi_{ij}=\chi_{ji}$.

Si bien la parte ópticamente inactiva parece intuitiva, no estoy seguro de qué se entiende por medio sin pérdidas en este caso. Eso significa$\gamma = 0$en el modelo de juguete? Según tengo entendido, el$\gamma$se introduce para tener en cuenta los movimientos retardados debido a la presencia de otros átomos en el entorno. Otra pregunta: ¿cómo se describe un material como ópticamente inactivo, es decir, qué ecuaciones se pueden escribir usándolo?

Además, logré encontrar una prueba de la simetría del tensor dieléctrico. En realidad, hay dos pruebas, una que usa el teorema de Onsager y otra que usa el teorema de disipación de fluctuación. Sin embargo, estoy buscando una prueba mucho más simple, con suerte solo en términos de conservación de energía y momento, y sin ninguna maquinaria termodinámica.

Editar: El primer enlace es de la página del curso PHYS 3003 Light and Matter de Tim Freegarde, Escuela de Física y Astronomía, Universidad de Southampton, Reino Unido. El segundo enlace se titula "Simetría del tensor dieléctrico" por Curtis R. Menyuk, Computational Photonics Lab., UMBC.