Demostrar la equivalencia de la energía potencial de un sistema de cargas y el trabajo requerido para ensamblar un sistema de cargas

Pista:

El teorema de la divergencia nos dice que la divergencia de un campo vectorial integrado sobre una región$R$con límite$\partial R$es igual a la integral de ese campo vectorial punteado con la normal que apunta hacia afuera a lo largo del límite;

$$\begin{align} \int_R dV\, \nabla\cdot \mathbf v=\int_{\partial R} dS\, \mathbf v\cdot\mathbf n. \end{align}$$ Si estamos integrando sobre todo el espacio, entonces esto es como integrar sobre el interior de una esfera pero en el límite de que esta esfera es infinitamente grande. Entonces tenemos $$\begin{align} \int_{\mathbb R^3} dV\, \nabla\cdot\mathbf v = \lim_{r\to\infty}\int_{B_r}dV\,\nabla\cdot \mathbf v = \lim_{r\to\infty} \int_{S_r}dS \,\mathbf v\cdot \mathbf n \end{align}$$ dónde $B_r$denota la bola cerrada de radio $r$(a saber, el interior de una esfera de radio $r$junto con su límite) y $S_r$denota la esfera de radio $r$. Ahora, en la superficie de una esfera de radio $r$, el elemento de área y la normal que apunta hacia afuera son $$\begin{align} dS = r^2\sin\theta d\theta d\phi, \qquad \mathbf n = \hat{\mathbf r}, \end{align}$$ entonces obtenemos $$\begin{align} \int_{\mathbb R^3} dV\, \nabla\cdot\mathbf v = \lim_{r\to\infty} \int_{S_r} d\theta\,d\phi\,\sin\theta\,r^2 v_r \end{align}$$ Si $v_r$disminuye lo suficientemente rápido con $r$, entonces la expresión de la derecha será cero. En otras palabras, hemos encontrado que

Siempre que la componente radial de un campo vectorial disminuya lo suficientemente rápido con$r$, la integral de la divergencia del campo vectorial sobre todo el espacio se anula.

Trate de usar este hecho junto con cosas que sabe acerca de cómo se comporta el campo eléctrico de una distribución finita de carga muy lejos de la distribución.