Condición límite de electromagnetismo

Ejes de referencia

La losa dieléctrica rodeada de aire como se muestra en el diagrama tiene permitividad ϵ diferente del aire y la permeabilidad casi igual que el aire. El campo eléctrico en todas partes dentro de la losa se da como

mi = ( 5 j ^ + 10 k ^ ) × porque ⁡ ( w t − b X ) .
Necesito encontrar un campo eléctrico y magnético justo afuera, encima de la losa.

Uso condiciones de contorno y obtengo que el campo magnético y z -el componente del campo eléctrico sigue siendo el mismo pero el componente y del campo eléctrico se escala debido a la permitividad relativa. Sin embargo, los campos así obtenidos no satisfacen la ecuación de Maxwell de rotacional de mi igual a la derivada del tiempo de B porque el B es lo mismo pero mi ha cambiado. No soy capaz de obtener el error en esto. ¿Es correcto aplicar condiciones de contorno de la forma en que lo he hecho? ¿O es que tal campo no puede existir en absoluto?

Algunas cosas vienen a la mente. ¿Qué crees que es el campo B dentro de la losa? ¿Cuál crees que es la condición límite para el campo B? Digo esto porque el campo B fuera de la losa no es el mismo que el campo B en la losa.
El campo B dentro de la losa se puede encontrar utilizando la ecuación de Maxwell que relaciona el rotacional de E con la derivada temporal de B (hasta una constante). Ahora, en el límite, el componente normal de B tiene que ser el mismo en ambos lados porque la divergencia de B es cero y la tangencial H tiene que ser la misma porque las corrientes superficiales son cero. Pero dado que las permeabilidades son las mismas, esto implica la misma tangencial B. Dado que ambas componentes de B son iguales, todo el vector B es igual en ambos lados. Por favor, hágamelo saber de cualquier error en este razonamiento.
Estoy intrigado - y entiendo el problema. ¿ Fue la redacción de la pregunta exactamente como usted la presentó? Me parece que el campo total dentro de la losa no puede ser el que te han dado.
Sí, así es como estaba redactado. Incluso yo lo pensé. Pero no conozco ninguna razón por la que este campo E no deba existir.
Supongo que, de hecho, no se puede obligar a que exista tal campo. Se doblará cerca de los límites, algo así como ondas Evanescentes.

Respuestas (3)

Las condiciones de contorno, como se indica en el comentario debajo de la publicación original, son:

mi 1 z = mi 2 z ϵ r mi 1 y = mi 2 y B 1 y = B 2 z B 1 z ≈ B 2 z
(Estoy usando 1 para denotar el dieléctrico y 2 para denotar el aire. El signo "igual aproximado" de arriba es porque estamos asumiendo m 1 ≈ m 2 .)

Estos son bastante fáciles de resolver para mi → 2 y B → 2 , como se señaló anteriormente; los resultados son

mi → 2 = ( 5 ϵ r j ^ + 10 k ^ ) porque ⁡ ( ω t − k X )
B → 2 = ( 10 j ^ − 5 k ^ ) k pecado ⁡ ( ω t − k X )
Estos parecen violar las ecuaciones de Maxwell, asumiendo que los campos no dependen de y o z :
∇ × mi → 2 = − ∂ mi 2 z ∂ X y ^ + ∂ mi 2 y ∂ X z ^ = ( 10 j ^ − 5 ϵ r k ^ ) k pecado ⁡ ( ω t − k X )
− ∂ B → 2 ∂ t = ( 10 j ^ − 5 k ^ ) ω pecado ⁡ ( ω t − k X )
Pero lo que es importante tener en cuenta aquí es que estos son solo los valores de campo en y = 0 . De hecho, esto solo nos está diciendo que ∂ mi X / ∂ y ≠ 0 a lo largo de la interfaz.

(ETA: lo que está debajo de este punto probablemente no sea una buena manera de pensar en las cosas. Ver edición a continuación).

De hecho, podría ser posible pensar en esta situación como el límite de θ → π / 2 de reflexión interna total. Suponga que tiene una onda viajando en el X y -plano hacia la interfaz en el diagrama de arriba, con su polarización en el plano de reflexión. Esto daría lugar a una onda reflejada en el dieléctrico y una onda evanescente en el aire. Esta onda evanescente tendría, en general, un valor distinto de cero. mi X y mi y , y dado que todo muere exponencialmente en el y -dirección, tendríamos ∂ mi X / ∂ y ≠ 0 . Sospecho (aunque no lo he probado) que puede ver su problema como el caso de una reflexión interna total en el caso de una incidencia rasante, y que el hecho de que ∂ mi X / ∂ y ≠ 0 es solo una manifestación de ondas evanescentes en el aire en este límite.

Lo que es menos que satisfactorio acerca de esta explicación, por supuesto, es que exige que el campo eléctrico gane un componente en el X -dirección en el aire a pesar de que no tiene X -componente en el dieléctrico. Honestamente, no sé lo suficiente sobre ondas evanescentes para saber si esto es un factor decisivo para esta interpretación o no.

EDITAR : después de haber realizado los cálculos, no estoy tan seguro acerca de la interpretación de la onda evanescente. La idea básica que tenía era que podía escribir la solución habitual de tres ondas en una interfaz (incidente, transmitida y reflejada), usar las ecuaciones de Fresnel para encontrar el total mi X encima y debajo de la interfaz, y luego muestre que si tomó el límite apropiadamente como el ángulo de incidencia θ → π / 2 , podría obtener una situación en la que mi X → 0 en el dieléctrico pero mi X ↛ 0 en el aire. Sin embargo, asumiendo que hice el álgebra correctamente, la razón de los mi X los valores inmediatamente arriba y debajo de la interfaz serán

mi ~ X , dielec mi ~ X , aire = i ϵ pecado 2 ⁡ θ − 1 + porque ⁡ θ ϵ ϵ pecado 2 ⁡ θ − 1 ,
que se acerca i / ϵ ≠ 0 como θ → π / 2 . Por lo tanto, no puede ver esta situación como el límite de incidencia rasante de la reflexión interna total.

Todavía confío moderadamente en mi respuesta anterior (que ∂ mi X / ∂ y ≠ 0 en el límite, aunque mi X se desvanece), pero hasta ahora no puedo abordar los aspectos insatisfactorios de esta respuesta que señalé anteriormente.

No mostró los cálculos para la edición final, pero tengo una idea de cómo se puede reducir el problema a un límite de incidencia rasante. El truco es tener la suma de las ondas incidente y reflejada para sumar las condiciones iniciales. Sin embargo, eso podría ser algo problemático y tal vez no haya una solución válida.

Me parece que una descripción de onda plana del campo en el medio dieléctrico puede ser válida solo a distancias (dirección -y) grandes en comparación con la longitud de onda de la onda. Aquí asumo que el propio plano xz es el límite superior del dieléctrico. La variación modificada del campo por debajo del límite dieléctrico debe usarse para evaluar los campos a través de él.

Hmm, esto no parece impedir que las ecuaciones de Maxwell funcionen para ondas planas con incidencia oblicua en un dieléctrico...
Si la energía incidente está verdaderamente localizada en el dieléctrico, entonces el vector de Poynting debe desaparecer hacia el exterior ya que la incidencia es más que crítica. Con las expresiones de campo que obtuviste, ¿puedes evaluar este vector y publicarlo aquí? @chirag.
El problema es, ¿cómo calcular los campos? Usando condiciones de contorno o la ecuación de Maxwell. Ahora creo que no es posible tener este campo en toda la losa. En una discusión con un amigo, llegamos a la conclusión de que, como en el caso de que surjan ondas evanescentes de incidencia de ángulo más que crítico, lo mismo podría suceder aquí. Pero no sé mucho acerca de tal flexión en los límites y no sé cómo calcular los valores asociados.
Sí, eso es lo que quise decir al decir que el campo no puede ser descrito por una onda plana, es decir, por la función sinusoidal del tipo dado en el enunciado del problema, inmediatamente debajo del límite dieléctrico-vacío. El efecto de curvatura se puede incorporar aproximadamente suponiendo un acabado cilíndrico del frente de onda en el límite, si la losa dieléctrica se extiende infinitamente en la dirección z en ambos sentidos. En tal aproximación, se pueden obtener valores de campo que decaen exponencialmente en el vacío inmediatamente por encima de la superficie dieléctrica, lo cual es característico de las ondas evanescentes.

Puede derivar las condiciones de contorno de las ecuaciones de Maxwell en forma independiente del tiempo, junto con la ley de Snell y la continuidad de los fotones.

tu reemplazas ∇ con Δ , la diferencia de fuerzas. Δ × mi = 0 tiene el efecto de que la componente horizontal de E es 0, porque no hay campo vertical a E o H, y Δ ⋅ B = 0 significa que la componente vertical de B y D no cambia.

La continuidad de un fotón significa que C D = H y C B = mi , donde c es la velocidad local de la luz (es decir, C 0 / norte ), y D / B = H / mi = 1 / Z w = ϵ / m . Juntos, obtienes

C D = H = Z C B = Z mi es el resultado de los campos en un fotón, por la ley de Snell.

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