Ambigüedades del campo eléctrico inducido

Actualmente estoy en la escuela secundaria y no sé mucho las ecuaciones de Maxwell. Sin embargo, conozco la ley de Faraday y recientemente nos enseñaron sobre la inducción electromagnética. Tengo algunos problemas para envolver el concepto de campos eléctricos inducidos en mi mente. me dicen que:

ϵ = ∮ mi → . d yo → = − d ɸ d t
Ahora supongamos que hay una región cilíndrica de radio R donde la magnitud del campo magnético varía con el tiempo como
B = C t
pero es uniforme en el espacio. Colocamos una espira conductora circular de radio r ( < R ) perpendicular al eje de modo que las líneas del campo magnético sean perpendiculares al plano (hacia adentro) del bucle y su centro se encuentre en el eje. Podemos resolver fácilmente la integral de línea anterior del campo eléctrico debido a la simetría y obtener este resultado:
| mi → | = r C 2
Además, por simetría, este campo eléctrico es circular, es decir, su dirección es tangencial al vector de posición r → asumiendo el centro común como origen. Por el bien del argumento, tomémoslo en el sentido de las agujas del reloj. Esto me da la magnitud y la dirección del campo eléctrico inducido en función del vector de posición en este plano. Pero ahora supongamos que desplazo el lazo hacia la derecha por d ( d < R − r ) , puedo volver a seguir los pasos anteriores y obtener un campo eléctrico inducido en función del vector de posición en el plano.

Entonces, ¿esto significa que el campo eléctrico inducido depende de nuestra ubicación del bucle? ¿O hay alguna superposición que no puedo ver?

Había pensado que debería ser independiente incluso de la existencia de un bucle y mucho menos de la ubicación porque parece intuitivo.

Tenga en cuenta que la magnitud del campo eléctrico fuera del cilindro varía inversamente con r ( > R ) y la expresión exacta es R 2 C 2 r .

Toda esta charla fue sobre el plano del bucle, pero ¿qué sucede en otros planos? ¿Existen líneas de campo con forma de solenoides infinitos de radios variables y superpuestos entre sí?

Por favor, ayúdame....

r es solo el radio del bucle, no su posición con respecto a algún origen arbitrario.
Estoy diciendo que r es la posición de un punto en el plano del bucle con el centro del bucle como origen. La cola del vector está en el centro y la cabeza está en ese punto.
¿Aceptaría usted este intento de sacar a la luz la paradoja? Supongamos que 𝑅 es lo suficientemente grande en comparación con 𝑟 para que podamos mover el anillo libremente sin que salga de la región de campo uniforme. Suponga que los extremos de un diámetro del anillo están en X e Y. Traslade el anillo en una dirección paralela a XY de modo que el extremo del diámetro que estaba en X ahora esté en Y. Si el inducido mi → está en el mismo sentido (en el sentido de las agujas del reloj, digamos) alrededor del anillo antes y después de la traslación, la dirección del campo en Y se ha invertido.
@PhilipWood, ¿te importa si agrego esto en la pregunta?
Ninguna objeción en absoluto.

Respuestas (1)

Pero ahora supongamos que desplazo el bucle hacia la derecha por d(d<R−r), puedo volver a seguir los pasos anteriores y obtener el campo eléctrico inducido como una función del vector de posición en el plano.

Creo que este es el problema de tu argumento. La simetría es lo primero, por lo que si desplaza el bucle del eje del cilindro, no puede esperar que el campo eléctrico sea constante en todos los puntos del bucle. En consecuencia, ya no se puede simplificar la integral a 2 π r mi .

Tenga en cuenta que, en principio, puede elegir un ciclo de este tipo y aún se cumple la ley de Faraday-Lenz, pero se encuentra con un problema de cálculo relacionado con la integral, mientras que si elige un ciclo que refleja la simetría del problema, todo se vuelve mucho más fácil.

Finalmente, sin importar la elección del bucle, las líneas de campo eléctrico para r < R son círculos centrados en el eje del cilindro y el módulo es mi ( r ) = r C / 2 .

Entonces, si no supiera la distribución del campo magnético, ¿no puedo determinar de manera única el campo eléctrico inducido? Y estás insinuando que la integral tiene el mismo valor para cualquier posición del bucle dentro de la región magnética, creo que esta sería una propiedad sorprendente del campo. ¿Hay alguna prueba matemática concreta?
Si el campo magnético no es uniforme, todavía hay una configuración de campo eléctrico única. El problema es que no puedes encontrarlo con papel y bolígrafo, solo puedes resolverlo numéricamente. Sí, estoy dando a entender que en un campo magnético constante, la circulación del campo eléctrico es constante sin importar la posición del bucle (si no cambia el radio). Sin embargo, esta ley física es un hecho experimental, no creo que puedas demostrarlo matemáticamente.
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