Conjunto de puntos donde el tallo es integral, el dominio está abierto.

Como dijiste, deja$A$ser un anillo noetheriano. Recuerda que un anillo es un dominio integral si y solo si es reducido y tiene solo un primo mínimo. Por otro lado, los primos mínimos de$A_{\mathfrak p}$son primos mínimos de$A$contenida en$\mathfrak p$.

Desde$A$es noetheriano, solo hay un número finito de números primos mínimos$\mathfrak p_1, \ldots , \mathfrak p_n$en$A$, entonces$A_{\mathfrak p}$tiene al menos dos primos mínimos si y solo si hay$i \neq j$tal que$\mathfrak p_i + \mathfrak p_j \subset \mathfrak p$, o equivalentemente, si$\mathfrak p \in V(\mathfrak p_i + \mathfrak p_j)$. De este modo,

$$\{\mathfrak p \mid A_\mathfrak p \text{ has one minimal prime}\} = \operatorname{Spec}A \smallsetminus \bigcup_{i \neq j} V(\mathfrak p_i + \mathfrak p_j)$$ está abierto, y por el primer comentario de mi publicación, $$\{\mathfrak p \mid A_\mathfrak p \text{ is an integral domain}\} = \{\mathfrak p \mid A_\mathfrak p \text{ is reduced}\} \cap \{\mathfrak p \mid A_\mathfrak p \text{ has one minimal prime}\}$$ también está abierto.

Estoy convirtiendo mi comentario en una respuesta. Dejar$A$ser un anillo noetheriano, y$\mathfrak{p}$Sea un ideal primo tal que$A_{\mathfrak{p}}$es un dominio Queremos demostrar que el conjunto$D$de ideales primordiales$\mathfrak{q}$de$A$tal que$A_{\mathfrak{q}}$es un dominio integral es abierto.

Dejar$I \subset A$ser el núcleo de la localización$A\rightarrow A_{\mathfrak{p}}$,$I$es generado por elementos$a_1,\ldots,a_n$. Para cada$i$, existe alguna$b_i \notin \mathfrak{p}$tal que$a_ib_i=0$. Dejar$f=b_1\ldots b_n \notin \mathfrak{p}$. Entonces la imagen de$I$en$A_f$desaparece

Dejar$x=a/b \in A_f$ser tal que su imagen en$A_{\mathfrak{p}}$es cero Entonces la imagen de$a$en$A_{\mathfrak{p}}$desaparece, por lo que$a \in I$y por lo tanto$x=a/b=0$.

En otras palabras, la localización$A_f \rightarrow A_{\mathfrak{p}}$es inyectable. Como$A_{\mathfrak{p}}$es un dominio integral, también lo es$A_f$.

Ahora si$\mathfrak{q}$es otro ideal primo de$A$no contiene$f$, entonces$A_{\mathfrak{q}}$es una localización del dominio integral$A_f$también lo es un dominio integral. En otras palabras,$\mathfrak{p}\in D(f) \subset D$. QED.

Creo que esto se puede hacer con descomposición primaria :)

Suponer$X=\text{Spec}(A)$es un esquema noetheriano afín y establece$Z=\{\mathfrak{p}\in \text{Spec}(A)\mid A_\mathfrak{p}\text{ is not an integral domain}\}.$En general, todos los ideales$\mathfrak{a}$en los anillos de Noether admiten alguna descomposición primaria -$\mathfrak{a}$se puede expresar como una intersección de un número finito de ideales primarios$\mathfrak{a}=\mathfrak{q}_1\cap\dots\cap\mathfrak{q}_n$cuyos radicales$\mathfrak{p}_1=\sqrt{\mathfrak{q}_1},\dots,\mathfrak{p}_n=\sqrt{\mathfrak{q}}_n$son precisamente los ideales primos que se dan en el conjunto$\{\sqrt{(\mathfrak{a}:x)}\mid x\in A\}$dónde$(\mathfrak{a}:x):=\{y\in A\mid yx\in\mathfrak{a}\}$.

Si toma una descomposición primaria del cero ideal en$A$

$$(0)=\mathfrak{q}_1\cap\dots\cap\mathfrak{q}_n$$ $$\mathfrak{p}_1=\sqrt{\mathfrak{q}_1},\dots,\mathfrak{p}_n=\sqrt{\mathfrak{q}_n}$$ obtenemos que el conjunto$D$de cero divisores en$A$ $$D=\bigcup\limits_{x\in A\diagdown\{0\}}\,(0:x)$$ - que evidentemente es igual a su radical (un elemento es divisor de cero si un solo si lo es una de sus potencias) $$D=\sqrt{\bigcup\limits_{x\in A\diagdown\{0\}}\,(0:x)}=\bigcup\limits_{x\in A\diagdown\{0\}}\,\sqrt{(0:x)}$$ - debe estar contenido en la unión$\mathfrak{p}_1\cup\dots\cup\mathfrak{p}_n$; por el contrario, cada uno de los números primos$\mathfrak{p}_1,\dots,\mathfrak{p}_n$se compone de divisores de cero ya que todos son de la forma$\sqrt{(0:x)}$para los elementos apropiados$x\in A$, de donde$D=\mathfrak{p}_1\cup\dots\cup\mathfrak{p}_n$.

De ello se deduce que (ya que una descomposición primaria del ideal cero en cualquier localización$A_\mathfrak{p}$viene dada por la intersección de los ideales primarios extendidos no triviales$(\mathfrak{q}_1)_\mathfrak{p}\cap\dots\cap(\mathfrak{q}_1)_\mathfrak{p}$) resulta que$A_\mathfrak{p}$no tiene divisores de cero si y solo cada uno de los números primos$\mathfrak{p}_1,\dots,\mathfrak{p}_n$se extiende a la unidad ideal en$A_\mathfrak{p}$, es decir, si y sólo si$\mathfrak{p}$no contiene ninguno de los primos$\mathfrak{p}_1,\dots,\mathfrak{p}_n$. En otras palabras$Z=V(\mathfrak{p}_1\cap\dots\cap\mathfrak{p}_n)$.

Espero que esto ayude y no cometí ningún error tonto: p