Descomposición primaria de 2×22×2 2\times 2 Permanentes de una matriz de 2×32×32\times 3

si char$k$es 2, entonces los permanentes son lo mismo que los determinantes, entonces$I$simplemente es un ideal primo. Entonces, supongamos que char$\neq 2$ahora.

Primero, observe que$I$es radical porque su ideal inicial (elegir, digamos, orden de lex recién graduado) es radical. Por lo tanto, no hay números primos incrustados. Por lo tanto, lo que deberíamos hacer es encontrar todos los componentes irreducibles de la variedad proyectiva definida por$I$.

Para hacerlo, tome gráficos afines; es decir, deshomogeneizar. Hay muchas simetrías aquí, así que hagamos la deshomogeneización en$x_1$para un ejemplo. enchufando$x_1 = 1$, obtenemos$(y_2 + y_1x_2, x_2y_3+y_2x_3, x_3y_1+y_3)$para el ideal, y por lo tanto, observando$y_2 = -y_1x_2,\ y_3 = -x_3y_1$realmente estamos calculando los componentes de$k[x_2, x_3, y_1]/(2x_2x_3y_1) = k[x_2, x_3, y_1]/(x_2x_3y_1)$(observa que usamos char$\neq 2$aquí). Bueno, los componentes son solo$y_1=0$o$x_2=0$o$x_3 = 0$. En efecto,$y_1=0$nos da el componente$(y_1, y_2, y_3)$, y$x_2 = 0$nos atrapa$(x_2, y_2, x_3y_1 + x_1y_3)$, Etcétera.

Usando simetría, uno puede ver que tenemos cinco componentes (y por lo tanto, la descomposición primaria de$I$):

y hemos terminado!

NB Esto se generaliza a$2\times n$con bastante facilidad, por lo que no es necesario limitarse a$n=3$caso.